TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

1. CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

   • È uma circunferência construída em um plano cartesiano, com centro na origem e raio medindo 1 unidade.
   • • A circunferência é dividida em 4 quadrantes
       • os quadrantes não se alteram
     • a marcação dos outros ângulo é feita a partir do 0°: 90°; 180°; 270° e 360°
     • com isso, conseguimos chegar em algumas conclusões: cos90°=0; cos 270°=0; sen 0°= 0; sen 180° = 0; sen 360°= 0
     • SENO E COSSENO
       • • o eixo horizontal(x) é o cosseno
         • o eixo vertical (y) é o seno
         • -1≤ sen x ≤ 1 -1 ≤cos x ≤ 1
         • Há sinais específicos para o seno e cosseno em cada quadrante:
     • TANGENTE E COTANGENTE
       • • tangente e cotangente são linhas trigonométricas associadas a novos eixos, tangentes à circunferência
         • tangente e cotangente não têm valores mínimos e máximos
         • Sinais da tangente e cotangente nos quadrantes:
     • SECANTE E COSSECANTE
       • • a reta inversa do cosseno é a secante
         • a reta inversa do seno é a cossecante
         • Sinais da secante e cossecante nos quadrantes
   • Pode-se abrir a circunferência no sentido horário ou anti-horário
     • sentido horário: ângulos negativos
     • sentido anti-horário: ângulos positivos

2. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

   • • A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90º, geralmente representada por "a"
       • os outros lados são chamados de catetos
         • cateto oposto: lado oposto ao um determinado ângulo α
         • cateto adjacente: é o lado que vai "ajudar" a formar um determinado ângulo α
     • Podemos utilizar teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa ou um dos catetos: a² = b² + c²
       • a- hipotenusa; b- cateto; c- cateto
     • Utilizamos seno, cosseno e tangente para realizar cálculos no triângulo retângulo
       • sen θ= cateto oposto/ hipotenusa
       • cos θ= cateto adjacente/ hipotenusa
       • tg θ= cateto oposto/ cateto adjacente
     • Principais ângulos e valores de seno, cosseno e tangente
       • • EXEMPLO CÁLCULO
           • Uma escada de 4 m de comprimento está encostada em uma parede, de forma que o ângulo θ formado com o chão tenha sido igual a 0,90. A altura(h) será...
             • • RESOLUÇÃO
                 • Sen θ: CO/HIP 0,90/1= CO/4 CO= 4 x 0,90 CO= 3,6
                   • O cateto oposto(altura) será 3,6 m
         • Em casos específicos é fornecida uma tabela trigonométrica para encontrar ângulos diferentes.
   • Um triângulo retângulo possuí um ângulo reto(90º)

3. CICLO TRIGONOMÉTRICO

   • • Irá existir uma relação de equivalência entre os ângulos desse ciclo trigonométrico
       • 30º=150º=210º=330º
         • o seno, cosseno e tangente de 30° também serão os mesmos para 150°, 210° e 330°
       • 45º=135º=225º=315º
         • o seno, cosseno e tangente de 45º serão os mesmos para 135°, 225° e 315°
       • 60°=120º=240º=300º
         • o seno, cosseno e tangente de 45° serão os mesmos para 120°, 240° e 300°
       • Essa relação de equivalência entre os ângulos será muito utilizada quando for necessário REDUZIR um ângulo.
     • RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
       • Secante → contrário do seno. Senθ =1/cos θ
       • Cossecante → contrário do cosseno. Cossec θ = 1/senθ
       • Cotangente → contrário da tangente. Tg θ= cos θ/senθ
       • • RELAÇÃO FUNDAMENTAL
           • • Pode-se observar que o seno θ (imagem 1) "reflete" do outro lado(imagem 2), assim, é formado um triângulo retângulo
               • É possível aplicar o teorema de Pitágoras, que irá formar a relação fundamental: sen² θ + cos² θ = 1²
         • esses serão os sinais para cada elemento em cada quadrante
       • EXEMPLOS:
         • Considere que sen θ = 3/5 e que θ é um ângulo do segundo quadrante. Dessa maneira, o valor de cos θ é:
           • RESOLUÇÃO
             • sen² θ + cos² θ = 1² (3/5)² + cos² θ = 1 9/25 - 1/1 = - cos² θ 9-25/25= - cos² θ (-16/25)= - cos² θ cos θ= √16/√25 → cos θ= 4/5
               • como o cosseno está no segundo quadrante, e ele tem valor negativo nesse quadrante o resultado será: cos θ= -4/5

4. REDUÇÃO DE ARCOS/ ÂNGULOS CÔNGRUOS

   • Quando é dado um ângulo que ultrapasse 360° é necessário reduzi-lo para um ângulo que sabemos o valor.
     • Exemplo: seno 885° passou de 360°, então devemos:
       • • 135° ocupa a mesma posição de 855° só que após 2 voltas
           • Conforme observamos no ciclo trigonométrico, o ângulo principal de 135° é 45°, isso significa que o seno de 135° terá o mesmo valor do seno de 45°
             • seno de 135° = √2/2
             • podemos realizar todo esse processo de redução do arco em seno, cosseno e tangente, é sempre necessário chegar á ângulos notáveis para conseguirmos resolver
           • θ: 855° α: 135° K: 2
     • Por exemplo: 360° está na 1° volta, 720° na segunda volta e 1080° na 3° volta
   • • Essa tabela explica como os ângulos côngruos são formados, e por consequência os ângulos do ciclo trigonométrico
       • Fórmula: θ = α + 360 . K
         • θ = ângulo maior que 360°; α = ângulo do começo: K= quantidade de voltas

5. OPERAÇÕES COM ARCOS

   • Diferenças importantes para realizar operações
     • sen 30° + sen 30° ≠ sen (30° + 30°)
       • sen 30° + sen 30° = 1 e sen (30° + 30°) = √3/2
   • SOMA E SUBTRAÇÃO
     • EXEMPLOS
       • Para determinar o valor de A= sen 105° + cos 105°
         • RESOLUÇÃO
       • Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg y é igual a:
         • RESOLUÇÃO
     • FÓRMULAS UTILIZADAS
       • sen(a + b) = sen a . cos b + sen b + cos a sen(a - b) = sen a . cos b - sen b + cos a
       • cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b
       • Tg(a + b) = tg a + tg b/ 1- tg a . tg b tg(a - b) = tg a - tg b/ 1 +tg a . tg b
   • ARCO DUPLO
     • Fórmulas para cálculos nesse caso
       • sen (2θ) = 2 . sen θ . cos θ cos(2θ) = cos²θ - sen²θ tg(2θ) = 2 . tg θ/ 1 - tg² θ
     • EXEMPLOS
       • sabendo que cos θ = 0,6, determine o valor de cos(2θ)
         • RESOLUÇÃO
           • • cos 2θ= -0,28
       • Para calcular qual o valor de um arco duplo com tg = 60°
         • RESOLUÇÃO
           • • o arco duplo terá como valor √3
             • tg30°, pois 30° + 30°=60°
       • Para calcular qual o valor de um arco duplo com seno de 90°
         • RESOLUÇÃO
           • • o arco duplo terá como valor 1
             • 45°, pois 45° x 2 =90°
   • ARCO METADE
     • sen (θ/2) = + ou - √1- cos θ/ 2 cos(θ/2) = + ou - √1 + cos θ/ 2 tg(θ/2) = + ou - √1 - cos θ / 1 + cos θ
     • EXEMPLO:
       • Sabendo que ? é um arco do quarto quadrante e que sen θ= − 63 /8 , calcule: a) sen θ2 e b) cos θ2
         • RESOLUÇÃO
           • • • o seno será √7/4 e o cosseno - 3/4
                 • o sinal é porque os valores estão no 2° quadrante

6. LEI DOS SENOS E COSSENOS

   • Essas leis são utilizada quando não temos um triângulo retângulo, e sim, um triângulo qualquer.
   • Lei dos senos
     • • Como podemos observar na imagem, utilizamos razão e proporção na lei dos senos
       • Deve-se colocar um lado sobre seno do ângulo que está oposto á esse lado, e igualar á outro lado sobre outro ângulo
         • É possível fazer isso ao contrário, só é necessário manter a proporção.
       • EXEMPLO:
         • • RESOLUÇÃO
     • Utilizamos quando temos 2 ângulos e 2 lados
   • Lei dos cossenos
     • Utilizamos quando temos 3 lados e 1 ângulo
     • • podemos definir com a fórmula:a²=b² + c² - 2.b.c.cosθ
         • o "a" será o lado oposto ao ângulo que utilizamos, portanto não significa que se tivermos uma incógnita ela será o "a"
           • esse lado oposto ao ângulo sempre será isolado na equação
       • EXEMPLO
         • • RESOLUÇÃO

Imagens e arquivos do mapa