Diferentes tipos de ecuaciones para la recta en el espacio.

Diferentes tipos de ecuaciones para la recta en el espacio.

1. PlanoSea P un punto en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero. Entonces el conjunto de todos los puntos Q para los que P→Q · n = 0 constituye un plano en ℝ3. Notación. Por lo general, un plano se denota por el símbolo π.Sea P = (x0, y0, z0) un punto fijo sobre un plano con vector normal n = ai + bj + ck. Si Q = (x, y, z) es otro punto en el plano, entonces P→Q = (x – x0)i + (y – y0)j + (z – z0)k.Como P→Q ⊥ n, tenemos que P→Q · n = 0. Pero esto implica que a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

   • Ecuación vectorial de la recta
     • Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto P y con una dirección dada por \vec{u}. Si P=(x_0,y_0,z_0) es un punto de la recta r y \vec{u} su vector director, el vector \vec{PX} que va desde el punto P a otro punto X en la recta, tiene igual dirección que \vec{u}, luego es igual a \vec{u} multiplicado por un escalar: \vec{PX}=\lambda \cdot \vec{u} (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3) \Rightarrow (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda \cdot (u_1,u_2,u_3) recta con dirección de un vector
   • Ecuación paramétrica de la recta
     • Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
   • Ecuación continua de la recta
     • Despejando e igualando λ en la ecuación paramétrica, se obtiene la ecuación continua de la recta:
   • Ecuación implícita de la recta
     • Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

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