AG 2.3: Quadratische Gleichungen

AG 2.3: Quadratische Gleichungen

1. Spezialfälle

   • I. Spezialfall
     • ax²=0
   • II. Spezialfall
     • ax²+bx=0
     • Anleitung: faktorisieren, Produkt-Null-Satz anwenden
     • Wie lautet der Produkt-Null-Satz? Ein Produkt ist dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
   • III. Spezialfall
     • ax²+c=0
     • Anzahl d. Lösungen: c < 0 ⇒ 2 Lösungen c > 0 ⇒ keine Lösung
     • Beim Wurzelziehen muss folgendes beachtet werden: Die Lösung kann positiv als auch negativ (±) sein.

2. Vokabeln

   • Wie lautet die allgemeine Form der qudratischen Gleichung? ax²+bx+c=0 mit a,b,c∈R ∧ a≠0
   • Ein Koeffizient ist ein konstanter Faktor vor einer veränderlichen Größe, z.B. 2 ist der Koeffizient von 2x.
   • Was heißt faktorisieren? Herausheben.
   • Was heißt normieren? Division durch seinen Koeffizienten, damit die Gleichung der Normalform entspricht.

3. Kleine Lösungsformel

   • Wie lautet die kleine Lösungsformel? Für eine quadratische Form der Gleichung der Form x^2+px+q=0 gilt: x=-p/2±√((p/2)^2-q).
   • Wenn vor dem x² etwas anderes als 1 steht, muss man die Gleichung durch a dividieren (d.h. normieren).
   • Wie viele Lösungen gibt es? Wie kann man bestimmen, wann und ob es 0/1/2 Lösungen gibt ohne die Gleichung zu lösen?
     • D > 0 ⇒ 2 Lösungen
     • D=0 ⇒ 1 Lösung
     • D < 0 ⇒ keine Lösung

4. Satz von Vieta

   • Sind x1 und x_2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+px+q=0, so gilt:
     • x²+px+q=0 = (x-x_1)(x-x_2)
     • x_1*x_2=q
     • x_1+x_2=-p
   • Was sind Linearfaktoren? (x-x_1 )(x-x_2 )=0

5. Quadratische Gleichungen mit Paramter

   • Parameter sind Variablen (unbestimmte Zahlen), die in der Rechnung wie Konstanten behandelt werden.
   • Wie löst man eine quadratische Gleichung mit Parameter? Man löst sie mit Hilfe der kleinen Lösungsformel.