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Três alunos chamados João, Maria e José resolveram uma prova com 100 questões e cada um deles acertou exatamente 60 delas. Uma questão é classificada como difícil se apenas um aluno a acertou e é classificada como fácil se os três a acertaram. Sabemos que cada uma das 100 foi resolvida por pelo menos um aluno. Existem mais questões difíceis ou fáceis. Além disso, determine a diferença entre a quantidade de questões difíceis e fáceis.

Diremos que uma questão é média se exatamente dois alunos a resolveram corretamente. Sejam x, y e z as quantidades de questões fáceis, médias e difíceis, respectivamente. Como existem exatamente 100 questões, temos x + y + z = 100. Somando as quantidades de questões resolvidas pelos três, que é 3 · 60 = 180, contaremos as questões fáceis três vezes, pois serão contabilizadas nos três alunos, as questões médias duas vezes, pois serão contabilizadas em dois alunos e as difíceis apenas uma vez, pois deverão ser contabilizadas apenas no aluno que a resolveu. Consequentemente, 3x +2y +z = 180. Daí, se multiplicarmos a primeira equação por 2 e subtrairmos dela esta última, obteremos: 2(x + y + z)−(3x +2y + z) = 200−180 z − x = 20. Assim, existem mais questões difíceis do que fáceis e a diferença entre elas é de 20 unidades. www.obmep.org.br OBMEP – Banco de Questões 20