Matemática 1

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Progressão Aritmética

Assim, os elementos reunidos em uma sequência numérica obedecem a uma progressão, isto é, uma disposição ordenada no conjunto.

O primeiro termo da sequência é chamado de a1 e o último termo é chamado de enésimo, sendo representado por an.

Compreendendo que uma PA é uma sequência de termos onde a diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante, para representar essa progressão usando uma fórmula, precisamos identificar o termo inicial (o primeiro termo da progressão) e a razão, que é a diferença constante entre os termos.

O primeiro termo é a1 e, a partir dele, somando a razão r, obtemos o termo subsequente.

Fórmula:

an = a1 + (n-1) . r

an : termo que queremos calcular

a1: primeiro termo da P.A.

n: posição do termo que queremos descobrir

r: razão

Soma dos termos de uma PA

Fórmula:

Sn = (a1+an) . n /2

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.

a1: primeiro termo da P.A.

an: ocupa a enésima posição na sequência

n: posição do termo

Classificação

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.

Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.

Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades de uma P.A.

Em uma progressão aritmética, a média aritmética entre o termo que precede e o que sucede um termo específico é igual a esse termo em questão.

An = an-1 + an+1 /2

A soma de termos equidistantes é sempre igual.

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Progressão Geométrica

A Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo é igual ao anterior multiplicado por uma constante, chamada de razão ou quociente (q).

Por exemplo, na PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256...), a razão é 2, pois cada termo é o dobro do anterior.

A razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação

Crescente: Na Progressão Geométrica (PG) crescente, a razão (q) é sempre um número positivo (q > 0) e os termos da sequência aumentam em valor à medida que a sequência avança.

Decrescente: A Progressão Geométrica (PG) decrescente é uma sequência em que a razão (q) é sempre um número positivo (q > 0) e diferente de zero (q ≠ 0), e os termos da sequência diminuem em valor à medida que a sequência avança.

Constante: A Progressão Geométrica (PG) constante é uma sequência em que a razão (q) é sempre igual a 1, e todos os termos da sequência são iguais.

Fórmula do termo geral

An = a1 . q elevado a (n-1)

an: número que queremos obter

a1: o primeiro número da sequência

q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Soma PG finita e infinita

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utilizamos a seguinte fórmula:

Sn = a1 (q elevado a n - 1) / q - 1

A soma dos termos de uma p.g. finita é dada pela seguinte expressão:

S = a1 / 1-q