Conjuntos Numéricos & Fatoração

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// APRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

• Extensão ou enumeração:

A = {1,2,3,4,5}

• Propriedade comum:

B = { X € N / 1 ≤ X ≤ 5 }

• Diagrama:

// CONJUNTOS ESPECIAIS

• Conjunto vazio: Não tem elemento nenhum. { } ou ø

• Conjunto unitário: Apenas um elemento

• Conjuntos disjuntos: conjuntos separados, não tem elementos em comum.

// RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA

• Relação entre elemento e conjunto:

Elemento x Conjunto

A = { 0,3,5,a }

3 ∈ A

4 ∉ A

B = { 1,2 [3],4 }

3 ∉ B

[3] ∈ B

// RELAÇÕES DE INCLUSÃO

• Relação entre dois conjuntos

A = { 1,2,3,4,5,6 }

B = { 3,4,5 }

C = { 5,6,7 }

B está contido em A

B ⊂ A

C ⊄ A

// SUBCONJUNTOS

• O que são os subconjuntos?

• Conjunto das partes de um conjunto

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Exemplo 1

A = { }

O único subconjunto do vazio é ele mesmo.

Exemplo 2

B = { ★ }

Subconjuntos: { }, { ★ }

Exemplo 3

C = { ★, ● }

Subconjuntos: { }, { ★ }, { ● }, { ★, ● }

Exemplo 4

D = { ★, ●, ☐ }

Subconjuntos: { }, { ★ }, { ● }, { ☐ }, { ★, ● }, { ★, ☐ }, { ●, ☐ }, { ★, ●, ☐ }

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// OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

• União:

A = { 1,2,3,4 }

B = { 4, 5, 6, 7 }

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

x ∈ A∪B se x ∈ A ou x ∈ B

• Interseção:

x ∈ A∩B se x ∈ A e x ∈ B

A∩B = [ 4 ]

• Diferença:

Exclusividade!

x ∈ A-B se x ∈ A e x ∉ B

• Complemento:

A-B é chamada de complemento quando B está contido em A.

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// EXERCÍCIOS

Problemas envolvendo diagramas

// QUESTÃO 1

Em uma pesquisa realizada com estudantes do IFAL, verificou-se que 100 alunos gostam de estudar português, 150 alunos gostam de estudar matemática, 20 alunos gostam de estudar as duas disciplinas e 110 não gostam de nenhuma das duas. Quantos foram os estudantes entrevistados?

a) 330. b) 340. c) 350. d) 360. e) 380.

Dica: sempre começar preencher o diagrama pelo meio.

20 = gostavam das 2

100-20 = 80 gostavam de portugues

150-20 = 130 gostavam de matemática

80+20+130+110 = 340 estudantes

// QUESTÃO 2

Em um grupo de 200 estudantes, 98 são mulheres das quais apenas 60 não estudam comunicação. Se do total de estudantes do grupo somente 60 estudam comunicação, o número de homens que não estudam esta disciplina é

a) 60. b) 80. c) 85. d) 75

Estudantes: 200

Mulheres: 98

→ Comunicação: 98-60 = 38

→ Outro : 60

Homens: 200-98= 102

→ Comunicação: 22 (38+22= 60)

→ Outro: 80 (102-22)

// QUESTÃO 3

Em uma pesquisa com 120 pessoas, verificou-se que

65 assistem ao noticiário A

45 assistem ao noticiário B

42 assistem ao noticiário C

20 assistem ao noticiário A e ao noticiário B

25 assistem ao noticiário A e ao noticiário C

15 assistem ao noticiário B e ao noticiário C

8 assistem aos três noticiários

Então o número de pessoas que assistem somente a um noticiário é

a) 7 b) 8 c) 14 d) 28 e) 56

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Conjuntos Numéricos

// CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

• Contagem e ordenação

{1,2,3,4,5...}

// CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

• Representação negativa

{-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}

Símbolos Importante

* Tirar o zero

- Tirar os positivos

+ Tirar os negativos

// CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

• Ideia de partição

// AS DÍZIMAS PERÍODICAS

- Fração Geratriz

// QUESTÃO 1

Encontre a fração geratriz:

a) 0,555...

x= 0,555... x10

10x = 5,555...

-9x = -5

x= 5/9

x= 0,555 = 5/9

b) 0,777...

c) 0,888...

d) 1,444...

1,444... x10

10x = 14,444

-9x= -13

x= 13/9

1,444 = 13/9

e) 0,151515...

0,151515... x100

-100x = 15,151515

-99x = -x

x= 15/99

0,151515... = 15/99

// QUESTÃO 2

Encontre a fração geratriz:

a) 0,2555...

x= 0,2555... x10

-100x = 25,555

-90x = -23

x= 23/90

0,2555... = 23/90

b) 0,3777...

c) 1,4888...

d) 2,3444...

e) 0,7151515...

// CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

• Não podem ser escritos sob a forma de fração.

- Dízimas não periódico

- Algumas raízes

// CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Números Racionais + Irracionais

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INTERVALOS REAIS

// O QUE SÃO INTERVALOS REAIS?

- Um pedaço da reta.

• O que é um intervalo aberto?

- Não Participa

• O que é um intervalo fechado?

- Participa

// QUESTÃO 1

Escreva os intervalos usando a notação de colchetes:

// QUESTÃO 1

Considerando os conjuntos E = [–3, 1], F = [–4, 4[ e G = ]3, 8], calcule as seguintes operações:

a) G ∩ F

b) G ∪ F

c) F – E

// OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS

• Interseção

• União

• Subtração (ou diferença)

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FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS

Técnicas de fatoração

Evidência de fatores comuns

Agrupamento

Produtos notáveis

Quadrado da soma

Quadrado da diferença

Produto da soma pela diferença

Produto de Stevin

// FATORAÇÃO

Escrever sobre a forma de produto.

Evidência

• Exemplos:

Agrupamento

• Exemplos:

// PRODUTOS NOTÁVEIS

Quadrado da soma

• Exemplos:

• Justificativa geométrica

Quadrado da diferença

• Exemplos:

• Justificativa geométrica

Produto da soma pela diferença

• Exemplos

b) Como saber a ação contrária (trinomio quadrado perfeito) ?

O termo do meio deve ser 2x o primeiro e o último.

Aplicação Útil

// QUESTÃO 01

// QUESTÃO 02

A senha de um cadeado é formada por 3 algarismos distintos, ABC, escolhidos entre os algarismos 3, 4, 5 6 e 7.

// QUESTÃO 03

// QUESTÃO 04

// QUESTÃO 05

// QUESTÃO 06

Simplificando a expressão

// QUESTÃO 07

// QUESTÃO 08

// QUESTÃO 09

5) A expressão (x-y)2 - (x+y)2 é equivalente a:

A) 0

B) 2y2

C) -2y2

D) -4xy

E) -2(x+y)2

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EXERCÍCIOS

1) Se U= 2017²－1÷2016², então é verdade que:

A) 1 < u < 2.

B) u < 1.

C) 2 < u < 5.

D) 5 < u < 10.

E) u > 10.

2) Simplificando a expressão (123456)2 – (123455)2 encontra-se:

A) 0

B) 1

C) 12345

D) 246911

E) N.D.A.

3) Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de lados a e b, sendo a > b. Represente na forma de um produto notável a diferença das áreas destes quadrados.

A) ( a + b ) . ( a + b )

B) ( a + b ) . ( a - b )

C) ( a - b ) . ( a - b )

D ( a + b )²

E) ( a - b )²

4) Se x + y = 13 e x . Y = 1, então x² + y² é

A) 166

B) 167

C) 168

D) 169

E) 170

6) O valor numérico da expressão √68²-32² está compreendido no intervalo

(68+32) - (68+32)

100-36 = 64

A) [30,40[

B) [40,50[

C) [50,60[

D) [60,70[

E) [70, 80[

7) Se x2(1-y) = y2(1-x)2 e x ≠ y, então x + y será: