Geometria Plana

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GEOMETRIA PLANA

Conceitos básicos e ângulos

• Ângulo: Região formada entre duas semirretas.

• Bissetriz: Reta que divide um ângulo em duas partes iguais.

Classificação de ângulo:

• Agudo: menor que 90°

• Reto: igual a 90°

• Obtuso: maior que 90°

• Raso: igual a 180°

• Ângulos Complementares: Dois ângulos que somados resultam em 90°

. • Ângulos Suplementares: Dois ângulos que somados resultam em 180°.

• Ângulos Replementares: Dois ângulos que somados resultam em 360°.

• Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV): São congruentes → tem a mesma medida.

// Retas Paralelas Cortadas por uma Transversal: produz ângulos:

• Correspondentes, que são congruentes.

• Colaterais, que são suplementares.

• Alternos que são congruentes.

O angulo a por exemplo, está acima de umas das paralelas e a esquerda da transversal, assim como o angulo e. Há entre eles uma correspondência.

Colaterais: O prefixo CO significa no mesmo. São angulos que estão do mesmo lado.

Se duas retas são colineares, elas estão na mesma linha... Se duas retas são coplanares, elas estão no mesmo plano.

// EXERCÍCIOS

// QUESTÃO 1

Dois ângulos são consecutivos, sendo que um deles mede 70°. Se o menor ângulo formado entre as bissetrizes mede 55°, determine a medida do segundo

Angulos consecutivo: quando desenhados termina um e já aparece o outro.

// QUESTÃO 2

Determine o valor de x na figura abaixo:

// QUESTÃO 3

Determine o valor de x na figura abaixo:

OBS: A soma dos angulos internos de qualquer triangulo sempre da 180° C.

// QUESTÃO 4

Determine a medida do ângulo x na figura abaixo:

// QUESTÃO 5

Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas.

Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a:

a) 70 b) 60 c) 45 d) 40 e) 30

// QUESTÃO 6

Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°

Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a:

a) 70 b) 60 c) 45 d) 40 e) 30 f) 100

// QUESTÃO 7

Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r // u.

O valor em graus de (2X + 3y) é:

a) 64° b) 500° c) 520° d) 660° e) 580°

// QUESTÃO 8

Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s.

Assinale o valor de α:

A soma dos angulos internos do quadrilátero é 360°.

α + 120° + 140° + 30° = 360°

α + 290° = 360°

α = 70°

a) 30° b) 50° c) 40° d) 70° e) 60°

// QUESTÃO 9

Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais.

O valor de x + y é:

a) 100° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°

// QUESTÃO 10

Dadas as retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s.

Concorrentes: que se encontram em um certo ponto.

O valor de x na figura abaixo é:

a) x = 51°

b) x = 35°

c) x = 90°

d) x = 50°

e) x = 45°

// QUESTÃO 11

Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo x é igual a:

a) 230° b) 225° c) 220° d) 210°

// QUESTÃO 12

As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α, apresentado na figura a seguir é:

a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60°

As retas r e s são paralelas cortadas por uma transversal t.

Se o ângulo B é o triplo de A, então (B – A) vale:

a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60°

// QUESTÃO 14

Se a medida de um ângulo é 26°40'51“, sua terça parte mede:

a) 8°13'17" b) 8°13'37" c) 8°33'37" d) 8°53'17" e) 8° 53'37"

// QUESTÃO 15

As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 46°. Se um dos ângulos mede 32° , a medida do outro é:

a) 23° b) 39° c) 55° d) 60° e) 62°

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// POLÍGONOS

• Sequência cíclica de segmentos de retas.

• Se um polígono possui n lados, possui n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos.

// POLÍGONO REGULAR

• Todos os lados congruentes.

• Todos os ângulos internos congruentes.

// POLÍGONO CÔNCAVO

• Tem pelo menos um ângulo interno maior do que 180°.

// POLÍGONO CONVEXO

• Todos os ângulos internos são menores do que 180°.

// GÊNERO DE UM POLÍGONO

// PARA POLÍGONO CONVEXOS:

• Soma dos Ângulos Internos: Si = 180°.(n – 2)

• Soma dos Ângulos Externos: Se = 360°

// PARA POLÍGONO REGULARES:

• Ângulo Interno: Ai = 180°.(n – 2) n

• Ângulo Externo: Ae = 360°/n

• Número de diagonais: d= n.(n-3) 2

// EXERCÍCIO PROPOSTO 1

Determine a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 22 lados.

// EXERCÍCIO PROPOSTO 3

Um polígono convexo possui 35 diagonais. Determine a soma dos ângulos internos desse polígono.

// EXERCÍCIOS

// QUESTÃO 1

Um polígono regular tem por soma dos ângulos internos 2340°. Quantas diagonais tem esse polígono?

a) 15; b) 90; c) 45; d) 30; e) 20.

// QUESTÃO 2

Se a medida de ângulo interno de um polígono regular é 150°, a soma dos ângulos internos desse polígono é:

a) 1240º; b) 3240º; c) 3600º; d) 2240º; e) 1800º

// QUESTÃO 3

Num polígono regular, o número de diagonais de um polígono é o triplo de seu número n de lados. Então, esse polígono é o:

a) hexágono; b) octógono; c) eneágono; d) dodecágono; e) pentágono.

// QUESTÃO 4

A soma dos ângulos internos de um hexágono regular é:

a) 1080°; b) 540°; c) 360°; d) 180°; e) 720°

// QUESTÃO 5

O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é:

a) 80°; b) 170°; c) 162°; d) 135°; e) 81°.

// QUESTÃO 6

O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1440° tem exatamente:

a) 15 diagonais; b) 20 diagonais; c) 25 diagonais; d) 30 diagonais; e) 35 diagonais.

// QUESTÃO 7

Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é o dobro do número de lados?

a) Dodecágono; b) Pentágono; c) Octógono; d) Heptágono; e) Hexágono.

// QUESTÃO 8

A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:

a) 60°; b) 45°; c) 36°; d) 83°; e) 51°.

// QUESTÃO 9

O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x² – 3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é:

a) 10; b) 9; c) 8; d) 7; e) 6.

// QUESTÃO 10

Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem:

a) 6 lados; b) 9 lados; c) 10 lados; d) 12 lados; e) 20 lados

// QUESTÃO 11

a) 108°; b) 72°; c) 54°; d) 36°; e) 18°.

// QUESTÃO 12

Um polígono regular possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. A partir desta informação, pode se concluir que o número de lados desse polígono é igual a:

a) 12; b) 36; c) 24; d) 48; e) 22.

1. B 2. E 3. C 4. E 5. C 6. E 7. D 8. E 9. E 10.C 11.D 12.A

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TRIÂNGULOS

// TRIÂNGULOS - ELEMENTOS

• 3 lados.

• 3 vértices.

• 3 ângulos internos.

• 3 ângulos externos.

// TRIÂNGULOS - CLASSIFICAÇÃO

• Triângulo Acutângulo – 3 ângulos agudos.

• Triângulo Retângulo – 1 ângulo reto.

• Triângulo Obtusângulo – 1 ângulo obtuso.

• Triângulo Escaleno – 3 lados diferentes.

• Triângulo Isósceles – 2 lados iguais.

• Triângulo Equilátero – 3 lados iguais.

// PONTOS NOTÁVEIS

• Ortocentro: Ponto de encontro das alturas de um triângulo.

• Baricentro: Ponto de encontro das medianas de um triângulo.

• Incentro: Ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo.

• Circuncentro: Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.

// CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO

• Cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

EXERCÍCIO

É viável termos um triangulo com lados 4cm, 5cm e 12cm?

4 ∠ 5+12 ; 4∠17 √

5 ∠ 4+12 ; 5∠16√

12∠ 4+5 ; 12∠9 ✘

Logo, não.