Equação & Função

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// O QUE VEREMOS HOJE:

• Plano cartesiano

- Pares ordenados

• Produto cartesiano

- Representação no plano cartesiano

• Relações

- Representação no diagrama

• Função

- Domínio, imagem e contradomínio

• Restrições do domínio

// PARES ORDENADOS E O PLANO CARTESIANO

• Representações:

• Produto cartesiano:

// RELAÇÕES

• Representações:

// FUNÇÕES

É uma relação em que todo elemento do conjunto de "partida" se relaciona com exatamente um do conjunto de "chegada".

• Representações:

A primeira imagem é uma função.

A segunda imagem não é uma função.

// DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM

Quem manda a seta é domínio.

Quem recebe é o contra domínio.

Imagem é o elemento do contra domínio que está sendo relacionado.

• Representações:

F: Ň → Ň F (x) = 2x +5

// RESTRIÇÕES DO DOMÍNIO

• 1º caso: denominador

• 2º caso: radicais

• 3º caso: misto

// CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

- Em relação ao contradomínio

- Em relação à paridade

- Em relação à monotonicidade

• Em relação ao contradomínio:

- Sobrejetora (ou sobrejetiva): não sobra elemento no contra domínio.

- Injetora (ou injetiva): Todo elemento do contra domínio recebe no máximo 1 seta. Pode sobrar.

- Bijetora (ou bijetiva): Atende simultaneamente as duas condições acima.

- Simples: Não atende a nenhuma das condições acima.

• Em relação às paridade

- Função par: números simétricos terão a mesma imagem. F (x) = F (-x)

- Função ímpar:

- Nem par nem ímpar

// ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES

• Em relação à monotonicidade

- Crescente

- Decrescente

- Constante

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Função composta & Função inversa

Função é uma sequencia de operações.

Ex: F (x)= 2x + 3

OBS: Diferença entre função e equação:

Função → Dinamica (troca) → F(x) = 3x + 5

Equação → Estática (parada) → 2x + 1 = 3x + 4

// FUNÇÃO COMPOSTA

• Duas ou mais funções podem ser combinadas para formar novas funções.

// EXEMPLO:

• Considere as funções f(x) = x² e g(x) = 2x + 3.

a) Determine f(g(x))

b) Determine f(f(x))

c) Determine g(f(x))

// EXERCÍCIO

Sejam f e g funções reis tais que f(x) = x² + 2x + 3 e g(x) = x + 1. Determine os seguintes valores:

a) f(g(x))

b) f(g(-1))

c) f(f(-2))

d) g(f(x))

e) g(f(0))

f) g(g(3))

// QUESTÃO 2

Sejam f: ℝ⟶ℝ tal que f(x) = 2x + 1 e g: ℝ⟶ℝ

Considere a função composta f(g(x)) = 2x² + 3.

Determine:

// QUESTÃO 3

// FUNÇÃO INVERSA

// FUNÇÃO INVERSA

• O que é uma função inversa?

É uma função que desfaz o que foi feito por outra função.

F(x)= 3x +2

→ Multiplica por e soma 2

→ Divide por 3 e subtrai 2

• Existência da função inversa.

Somente funções (ou parte) que sejam bijetoras podem ser invertidas.

• Notação: Expoente

F(x) → Função

F⁻¹ (x) → Inverso da função

• Relação entre domínio e imagem.

// OBTENDO A FUNÇÃO INVERSA

• Fazer y = f(x)

• Trocar x por y

• Resolver a equação isolando y

Ex:

F(x)= 3x + 2

y = 3x + 2

x= 3y + 2

x-2/3 = y

F⁻¹ (x) = x-2/3

// EXEMPLOS

Determine as funções inversas de cada uma das funções bijetoras, definidas no conjunto dos números reais, dadas abaixo:

a) f(x) = 2x – 3

b) g(x) = 3x + 5

c) h(x) = x3

d) t(x)=x-4/ x+1

// UMA RELAÇÃO IMPORTANTE

O que resulta da composição entre uma função e a sua inversa?

Resulta sempre em x

// O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO INVERSA

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FUNÇÕES 1º GRAU

// FUNÇÕES AFINS

• Definição

F(x)= ax+b

EX:

F(x)= 3x+1

G(x)= 2x-5

H(x)= -1/4x + 3

W(x)= 5x

L(x)= 2

• Tipos especiais de funções afins:

✓ Função identidade.

✓ Função linear.

✓ Função constante.

• Os coeficientes da função afim.

// EXEMPLO 1

Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 800,00 mais custo variável de R$ 0,20 por unidade produzida.

a) Defina a função referente ao custo de produção de peças dessa indústria.

C(x)= 800+0,20.x

b) Calcule, utilizando a função obtida, o custo para a produção de 500 peças.

900

c) Quantas peças são produzidas para que o custo total seja de R$ 923,40?

617

// EXEMPLO 2

A clínica de emagrecimento do dr. Leozão garante que, seguindo uma dieta recomendada, seus clientes terão uma redução de 1,5 kg por semana. Admitindo que a taxa de emagrecimento por semana seja sempre a mesma, responda:

a) Essa situação pode ser descrita como uma função afim?

Sim.

b) Calcule o número mínimo de semanas em que uma pessoa com 76 kg deve seguir a dieta para ficar abaixo dos 69 kg.

P(x)= 76-1,5kg= 69

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EQUAÇÃO DO 1º GRAU

• O que são equações?

Uma igualdade.

• O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação onde a incógnita tem expoente 1.

• Como se resolve uma equação do 1º grau?

Isolando X.

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU

• Reconhecer uma equação do 2º grau

• Tipos de equação do 2º grau

• Métodos para obtenção das raízes de uma equação do 2º grau

• Estudo do discriminante

• Forma fatorada de uma equação do 2º grau

• Relações entre as raízes (Girard)

// RECONHECENDO UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

O que é uma equação do 2º grau?

Uma igualdade do tipo: ax² + bx + c = 0

Onde a # 0

Ex:

2x² + 3x + 5 = 0

x² - 2x + 1 = 0

x² + 6 = 0 → x² + 0x + 6 = 0

Determinando seus coeficientes

A, B, C

A → multiplica x²

B → multiplica x

C → está sozinho

Coeficientes do exemplo acima:

A= 2 B= 3 C= 5

A= 1 B= -2 C= 1

Raízes de uma equação do 2º grau

Valor de x para qual a igualdade se verifica.

Ex:

x² + x - 12 = 0

x= 3

3² + 3 - 12 = 0

9 + 3 - 12 = 0

0 = 0

// PRATICANDO

Quais das equações abaixo são do 2º grau?

( F ) x – 5x + 6 = 0

( F ) 2x³ - 8x² - 2 = 0

( V ) x² - 7x + 10 = 0

( V ) 4x² - 1 = 0

( F ) 0x² + 4x – 3 = 0

( F ) x² - 7x

// TIPOS DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equação incompleta

Podemos ter B= 0 ou C= 0

Ex:

x² - 6 = 0 → A= 1 B= 0 C= 6

2x² - 3x = 0 → A= 2 B= -3 C= 0

Equação completa

Todos # 0

Ex:

- x² + 4x + 2 = 0 → A= -1 B= 4 C= 2

// PRATICANDO

Classifique as equações do 2º grau em completas ou incompletas e determine os coeficientes a, b, c.

a) x² – 7x + 10 = 0

Completa

b) 4x² – 4x +1 = 0

Completa

c) – x² – 7x = 0

Incompleta, C= 0

d) x² – 16 = 0

Incompleta, B= 0

e) x² + 0x + 0 = 0

Incompleta, B+C= 0

// COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equação incompleta:

- Fator comum em evidência

Equação completa:

- Fatoração

- Completamento de quadrados

- Fórmula de Bhaskara

// PRATICANDO

Resolva as equações do 2º grau:

a) 4x² – 36 = 0

b) 7x² – 21 = 0

c) x² + 9 = 0

d) x² – 49 = 0

e) 5x² – 20 = 0

// PRATICANDO

Resolva as equações do 2º grau:

a) 4x2 - 4x + 1 = 0

b) x2 – 4x + 12 = 0

c) x2 + 6x + 9 = 0

d) 3x2 + 4x + 2 = 0

e) 6x2 – x – 5 = 0

f) x2 – 6x – 16 = 0

// ESTUDO DO DISCRIMINANTE

• O que os diferentes valores do discriminante pode nos fornecer?

• Aplicações futuras:

// PRATICANDO

Sabe-se que a equação 5x2 – 4x + 2m = 0 tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, determine o valor de m.

Determine o valor de p na equação x2 – px + 9 = 0 para que essa equação tenha um única raiz real.

// PRATICANDO

A equação (x – 2)(x + 2) = 2x – 9:

a) admite duas raízes reais e iguais.

b) admite duas raízes reais e opostas.

c) admite apenas uma raiz.

d) não admite raízes reais.

// FORMA FATORADA DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Como escrever uma equação do 2º grau em sua forma fatorada?

Vantagens dessa forma de escrita

- Visualizar as raízes mais rápido.

// RELAÇÕES ENTRE AS RAÍZES (GIRARD)

• Soma das raízes

• Produto das raízes

// PRATICANDO

O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0 é igual a 3 4. Calcule o valor do coeficiente c.

Considere a equação do 2° grau – 3x² + (n – 5)x + (10 – n) = 0 e n como um número natural qualquer. Determine o valor de n de forma que:

a) o produto das raízes seja -10 3 .

b) a soma das raízes seja – 2.