Diferenciales

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Interpretacion geometrica de la diferencial

Si en la grafica de una funcion f(x) se traza una tangente a la funcion

en el punto P(x,f(x)), x sufre un incrmento en Ax , lo que genera un

punto Q(x+Ax, f(x+Ax)) , la geometria de la figura , describe al

triangulo PRT, y al angulo O, aplicando los principios de trigonometria

se tiene que

tg O = dy/dx

pero sabemos que m=tg O

m= dy/dx

pero ademas la m=f'(x)

finalmente

f'(x)=dy/dx

si de aqui despejamos a dy

dy=f'(x) dx

Entonces la diferencial de una funcion es la derivada de la funcion por el incremento de x

Ejemplo 1, Sea la funcion f(x) = 3x^2 +4x-1 , encontrar su diferencial para x=2 y Ax=0.002

Solucion:

derivando la funcion f'(x) = 6x+4 evaluamos la derivada , encontrada en x=2

f'(2) = 6(2)+4 = 12+4= 16

por lo que la difrencial es,

dy=f'(x) dx = 16(0.002) = 0.032

Ejemplo 2: calcular el incremento del volumen de un cubo, si sus lados miden 10 cm, y sufren un incremento del .001 cm

solucion: sea volumen del cubo igual v=l^3 y el incremento del lado es Al=0.001

entonces la funcion sera f(l) = l^3

derivamos f'(l) = 3l^2

evaluamos con l=10 f'(10)= 3(10)^2 = 3(100) = 300

el incremento de volumen es: dv=f'(l)dl = (300) (0.001) = 0.3 cm^3