Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen

Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen

1. Definitionsbereich

   • in welchen x-werten die Funktion definierbar ist. also welche x-werte eingesetzt werden können
   • Definitionslücken
     • Nullstelle vom Nenner!
     • Polstellen
       • ergibnis der Polstelle: senkrechte Asymptote 
     • hebbare Definitionslücken
       • wenn die Nullstelle eig nicht im Definitionsbereich ist. quasi ausgeschlossen oder weggekürzt werden kann. 

2. Nullstellen

   • Wo der x-Wert des Graphen null ist, also wo der Graph die x-Achse trifft/berührt.  Wird auch benötigt für den Definitionsbereich  
   • f(x) = 0
     • gucken wann der Graph null wird. Also für y = 0 einsetzen.  oder: bei produkten, wird dann null wenn eins der produkte null wird. ln(1) = 0 .. 

3. y-Achsenabschnitt

   • Wo der Graph die y-Achse berührt
   • x = 0
     • In der Gleichung für x = 0 einsetzen und nach y auflösen  f(0)= 

4. Grenzwertverhalten

   • lim f(x)

5. Symmetrie

   • Punktsymmetrie
     • f(-x) = - f(x)
   • Achsensymmetrie
     • f(-x) = f(x)

6. Asymptoten

   • senkrechte
     • -Definitionslücke
   • waagrechte
     • Grenzwertbetrachtung
       • ZG = NG
         • lim f(x) = Zahl
           • die Zahl ergibt sich aus der Zahl vor dem zählergrad durch die Zahl vor dem Nennergrad.  Beispiel: 4x²+3                  2x²-1 -> lim f(x) = 4/2 = 2
       • ZG < NG
         • lim f(x) = 0 !
   • schräge
     • Zählergrad muss genau um 1 größer sein als der Nennergrad, dann liegt eine schräge Asymptote vor, die berechnet wird: Zählerterm : Nennerterm =
     • ZG = NG + 1

7. Wertemenge

   • Welche Werte für y eingesetzt werden können

8. Umkehrfunktion

9. 2te Ableitung = Krümmung

   • Nullstellen = Wendepunkte
     • Krümmung = 0
   • Krümmung
     • Monotonietabelle mit Nst. der 2. Ablt.
       • positiv = links gekrümmt / = WP negativ = rechts gekrümmt

10. 1te Ableitung = Steigung

    • Nullstellen = Extremstellen
      • Monotonieverhalten
        • Monotonietabelle
        • Nst. in 2te Ableitung einsetzen
      • Steigung=0