Μαθηματικά Γ ΕΠΑ.Λ. - ΣΛ

Μια συνάρτηση \( f \) λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν
για οποιαδήποτε σημεία \( x_1 \), \( x_2 \) ∈ Δ με \( x_1 < x_2 \) ισχύει \( f( x_1 ) > f( x_2) \).

Μια συνάρτηση \( f \) λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,
όταν για οποιαδήποτε σημεία \( x_1 , x_2 ∈ Δ \) με \( x_1 < x_2 \) ισχύει \( f(x_1) < f(x_2) \) .

Αν οι συναρτήσεις \( f \) και \( g \) έχουν όρια στο \( x_0 \) πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή
\( \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } f( x) = \ell_1 \) και \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } g( x) = \ell_2 \) με \( \ell_1 \), \( \ell_2 \in \mathbb{R} \) ,
τότε \( \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } (f ( x) \cdot g(x)) = \ell_1 \cdot \ell_2 \)

Μία συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής αν για κάθε \( x_0 \in A \) ισχύει
\[ \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } f(x) = f(x_0) \]

Μια συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής στο \( x_0 \in A \) αν
\[ \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } f(x) = c \]

\( \lim\limits_{ x \rightarrow x_0 } εφ x = εφ x_0 \), όταν \( συν x_0 \neq 0 \)

Ισχύει \( (x^v)' = v x^{v-1} \),όπου \( ν \) φυσικός αριθμός.

Η παράγωγος της f(x) = ημx είναι η f’(x) = -συνx .

Ισχύει \( \left[ f(x) + g(x) \right]' = f'(x) + g'(x) \) για κάθε \( x \) στο κοινό πεδίο ορισμού των \( f, g \)

Αν οι συναρτήσεις \( f \) και \( g \) είναι παραγωγίσιμες τότε ισχύει
\[ \left( \dfrac{ f(x) }{ g(x) } \right)' = \dfrac{ f ' (x) }{ g ' (x) } \]

Ισχύει \( \left( f(x) \cdot g(x) \right)' = f'(x) \cdot g'(x) \)

Είναι \( (συν x)' = - ημ x \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \)

Για τη συνάρτηση \( f(x) = \dfrac{1} {x} \), \( x \neq 0 \) ισχύει ότι \( f ′(x) = \dfrac{1}{x^2} \) .

Είναι \( \left( \sqrt{x} \right)' = \dfrac{1}{ 2 \sqrt{x} } \) για κάθε x > 0.

\( \left( \sqrt{3} \right)' = \dfrac{1}{ 2 \sqrt{3} } \)

\( (x^ν ) ′ = ( ν − 1) \cdot x^ν \), όπου ν φυσικός αριθμός.

Αν \( f \) και \( g \) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης \( f(g(x)) \) ισχύει:
\[ \left( f(g(x)) \right) ′ = f ′ (g(x)) \cdot g ′ (x) \]

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι:
\[ \left( f(x) \cdot g(x) \right) ′ = f ′(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g ′(x) \]

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει \( f ′(x) > 0 \) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Αν για τη συνάρτηση \( f \) ισχύουν \( f'(x_0) = 0 \) για \(x_0 \in (α, β) \), \( f'(x) > 0 \) στο \( (α,x_0) \) και \( f'(x) < 0 \) στο \( (x_0 ,β) \), τότε η \( f \) παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα \( α, β \) για \( x = x_0 \) .

Αν για τη συνάρτηση \( f \) ισχύει \( f ′ (x_0) = 0 \), για \( x_0 ∈ ( α, β ) \) και η παράγωγός της \( f′ \) διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του \( x_0 \), τότε η \( f \) είναι γνησίως μονότονη στο ( α, β ) και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα αυτό.

Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.

Οι ποσότητες \( x_i \), \( ν_i \), \( f_i \) για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων.

Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής.

Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής.

Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες \( v_i \) ή τις σχετικές συχνότητες \( f_i \) των τιμών \( x_i \) της μεταβλητής.

Για τη σχετική συχνότητα \( f_i \) ισχύει ότι \( f_i > 1 \), για κάθε i = 1, 2, ..., k.

Αν \( x_i \)είναι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X , τότε η αθροιστική συχνότητα \( N_i \) εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες της τιμής \( x_i \)

Το άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής Χ είναι ίσο με 100.

Η διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις.

Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.

Η μέση τιμή \( \overline{x} \) ορίζεται από τη σχέση
\[ \overline{x} = \dfrac{1}{v} \sum_{i=1}^{κ} x_{i} v_{i} \]

Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς.

Η διακύμανση (ή διασπορά) της μεταβλητής X ορίζεται από τη σχέση:
\[ s^2 = \dfrac{1}{ν} \sum_{i=1}^{κ} \left( \overline{x} - x_i \right)^2 \cdot v_i \]

Η διακύμανση των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις.

Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 10%.

Αν για τους συντελεστές μεταβολής των δειγμάτων Α και Β ισχύει \( CV_B > CV_A \), τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφανίζει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Α.

Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το εύρος ισούται με περίπου 6 φορές την τυπική απόκλιση, δηλαδή \( R \approx 6 s \), όπου \( s \) η τυπική απόκλιση.

Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή στο \( ( \overline{x} − s , \overline{x} + s ) \) βρίσκεται το 68% περίπου των παρατηρήσεων.

Σε μία κανονική ή περίπου κανονική κατανομή στο \( ( \overline{x} − 2 s , \overline{x} + 2 s ) \) βρίσκεται το 99,7% περίπου
των παρατηρήσεων, όπου \( \overline{x} \) η μέση τιμή και \( s \) η τυπική απόκλιση.

Ο συντελεστής μεταβολής CV ορίζεται (για \( \overline{x} ≠ 0 ) \) από το λόγο:
\[ CV = \dfrac{ \text{τυπική απόκλιση} }{ \text{ μέση τιμή } } \]

Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα \( ( \overline{x} − s, \overline{x} + s) \), όπου \( \overline{x} \) η μέση τιμή και \( s\) η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων.

Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων \( f \), \( g \) ισχύει ότι:
\[ \left( f ( x ) g(x ) \right)′ = f ′( x ) g(x ) + f ( x ) g′( x ) \]

Σε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων.

Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογενές, όταν ο συντελεστής μεταβολής ξεπερνά το 10%

\[ ( c f(x) ) ′ = c f ′ (x) \]

Για τις σχετικές συχνότητες \( f_i \), όπου i = 1, 2, ...,κ των τιμών \( x_i \) μιας μεταβλητής Χ, ισχύει:
\[ f_1 + f_2 + \ldots + f_κ = 1 \]