Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

• INTRODUÇÃO:
• A Teoria dos Conjuntos foi criada pelo matemático russo George Cantor (1845-1918);
• Esse estudo trabalha as propriedades dos conjuntos, as relações entre conjuntos e as relações entre os elementos e o próprio conjunto;
• Por meio de simbologias matemáticas, foi buscada a facilidade em tratar e também como melhor demonstrar situações entre conjuntos e elementos;
• É considerada a área da matemática responsável por agrupar, organizar, relacionar e/ou distinguir conjuntos, considerando grupos, coleções, classes e/ou categorias dos elementos;
• Ao enfrentar um problema, as formas como são expressas determinadas situações através da Teoria dos Conjuntos garantem uma maior visualização do que está sendo tratado;
• De maneira simplificada, conjunto é um meio de agrupar nenhum, um ou infinitos elementos.

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• REPRESENTAÇÕES:
• O clássico Diagrama de Venn, em homenagem ao matemático inglês John Venn, será abordado mais adiante. É a melhor forma e também a mais comum de demonstrar a Teoria dos Conjuntos, inclusive ao tratar os Conjuntos Numéricos (campo do estudo de Conjuntos) que são facilmente interpretados diante deste modelo;
• A representação escrita geralmente é com o conjunto em letra maiúscula e o (s) elemento (s) dentro de chaves em letra minúscula, separados por vírgula ou ponto e vírgula.
• exemplo 1: A= {a, b, c, d, e} conjunto finito
• No exemplo 2, a reticências representa o infinito.
• exemplo 2: B= {f, g, h, i, j, ...} conjunto infinito
• No exemplo 3, um problema pode ser expresso em forma de conjunto.
• exemplo 3: C= {x E R/ 5x - 10=0} C= {2}

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• RELAÇÕES BÁSICAS:
• Conjunto vazio ( { } ou Ø ): é o conjunto em que não há nenhum elemento, mas que está contido em todos os demais conjuntos;
• Pertinência ( ∈ ou ∉ ): é uma relação entre conjunto e elementos (s), dito que um elemento pode ou não pertencer a um conjunto;
• Inclusão ( ⊂, ⊄, ⊃ ou ⊅ ): esta relação é entre conjuntos, podendo um conjunto estar contido ou não no outro, sendo que um pode ou não conter o outro;
• União ( ∪ ): é a formação de um novo conjunto a partir de dois conjuntos dados ou mais, devem ser colocados todos os elementos num único conjunto (sem necessidade de repetição se o elemento aparece mais de uma vez), tendo assim a união ou conjunto união;
• Intersecção ( ∩ ): também se forma um novo conjunto, sendo que o conjunto intersecção compreende os elementos que aparecem em dois conjuntos ou mais ao mesmo tempo, e caso não haja, o conjunto intersecção será também um conjunto vazio (chamado nesse caso disjunção);

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• Diferença ( − ): é a operação de subtração entre conjuntos, basicamente é tirar de um conjunto tudo o que está no outro;
• Igualdade ( = ): é a avaliação dos conjuntos, que independente de sua organização, passam a ser iguais se possuem os mesmos elementos;
• Conjunto unitário: é o conjunto cuja quantidade de elementos é igual a um;
• Subconjuntos: dividir subconjuntos de um conjunto é agrupá-los de todas as formas possíveis, desde o conjunto vazio até o conjunto em que todos os elementos fiquem juntos. De modo simples, basta fazer 2 elevado a quantidade de elementos;
• Conjunto das partes: o conjunto das partes é aquele formado por todos os subconjuntos de um determinado conjunto;
• Complementar: para haver o conjunto complementar, precisa haver um conjunto contido em outro, então faz-se a diferença do conjunto que contém ao conjunto que está contido.

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• Legenda: SÍMBOLOS USUAIS

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• CONJUNTOS NUMÉRICOS:
• Números Naturais (N): {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
• N*: {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Np: {0, 2, 4, 6, 8, ...}
• Ni: {1, 3, 5, 7, 9, ...}
• P: {2, 3, 5, 7, 11, ...}
• Todo número Natural tem sucessor;
• Tanto a soma como o produto entre números Naturais resulta em um outro número Natural.

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• Números Inteiros (Z): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• Z*: {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
• Z+: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Z-: {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
• Z*+: {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Z*-: {..., -5, -4, -3, -2, -1}
• Todo número Inteiro tem antecessor e sucessor;
• Tanto a soma, a diferença ou o produto entre dois números Inteiros quaisquer resulta em outro número Inteiro.

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• Números Racionais (Q): {numerador E Z e o denominador E Z*}
• Q*: {Racionais não nulos}
• Q+: {Racionais positivos com zero}
• Q-: {Racionais negativos com zero}
• Q*+: {Racionais positivos sem zero}
• Q*-: {Racionais negativos sem zero}
• Tanto a soma, a diferença ou o produto entre dois números Racionais quaisquer resulta em outro número Racional;
• O quociente entre dois números Racionais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número Racional.

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• Números Irracionais (I): {x/x é dízima não periódica}
• Uma raiz não exata ou um decimal infinito é um número Irracional;
• Tanto a soma como a diferença entre um número Racional com um número Irracional resulta em um outro número Irracional;
• O produto e o quociente de um número Racional não nulo por um número Irracional é um número Irracional.

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• Números Reais (R): {x/x é um número Racional ou Irracional}
• R*: {x E R / x ≠ 0}
• R+: {x E R / x ≥ 0}
• R*+: {x E R / x > 0}
• R-: {x E R / x ≤​​​​​​​ 0}
• R*-: {x E R / x < 0}
• Tanto a soma, a diferença ou o produto entre dois números Reais quaisquer resulta em outro número Real;
• O quociente entre dois números Reais quaisquer, sendo o divisor diferente de zero, é um número Real;
• Se a raiz de um número der negativa então esse número não é Real.

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• Legenda: OBSERVAÇÃO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE VENN

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• REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
• "O que são conjuntos numéricos?"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm>. Acesso em 28 de agosto de 2018.
• "Conjuntos Numéricos"; Toda Matéria. Disponível em <https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/>. Acesso em 28 de agosto de 2018.
• "Teoria dos Conjuntos"; Kuadro. Disponível em <https://www.kuadro.com.br/posts/teoria-dos-conjuntos/>. Acesso em 29 de agosto de 2018.

Teoria dos Conjuntos

• "Teoria dos Conjuntos"; Mundo Educação. Disponível em <https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teoria-dos-conjuntos.htm>. Acesso em 29 de agosto de 2018.
• "Teoria dos Conjuntos"; Só Matemática. Disponível em <https://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php>. Acesso em 29 de agosto de 2018.