Flashcards
Aportaciones de Kurt Gödel acerca de la lógica.
Flashcards do conjunto (10)
- 1¿QUIÉN FUE KURT GÖDEL?*Nació el 28 de abril de 1906 en Moravia, actual República Checa.
*Mostraba signos de inestabilidad emocional algo que mantuvo hasta su adultez.
*Desde muy pequeño sufrió de fiebres reumáticas que le dejaron secuelas y por ende algunos traumas sobre su frágil salud llegándolo a considerar como un hipocondríaco.
*Su familia le dio el apodo de "señor por qué" y su inmensa curiosidad lo llevó a explorar desde lenguas y religiones hasta historia y matemáticas.
*A los 18 años, llegó a la Universidad de Viena, ya sabía todo lo que le podían enseñar en los cursos regulares sobre lenguas y religiones hasta historia y matemáticas.
*Se interesó por estudiar la lógica matemática, "una ciencia anterior a todas las otras, que contiene las ideas y principios que subyacen a todas las ciencias", según dijo. - 2*En 1927 conoció a su esposa Adele Nimbursky Porkert, siendo una bailarina en un club nocturno, ella era una mujer divorciada y 6 años mayor que él, provocando el disgusto de los padres aunque eso no fue un impedimento para que se casaran en 1938. *Después de obtener su doctorado, se convirtió en profesor de la Universidad de Viena en 1931. *En 1939 él y su esposa viajaron rumbo a Norteamérica, obteniendo un puesto en Princeton. *El joven Gödel asistía a los cafés donde filósofos y matemáticos conocidos como el Círculo de Viena deslastraban a la filosofía de elementos metafísicos. *Cuando Gödel fue declarado apto para el ejército emigró a los Estados Unidos con su esposa Adele. *Conoció a Albert Einstein en la universidad de Princeton, su amistad es una de las más recordadas en el mundo científico incluso fue contribuyente en la ayuda que recibió Einstein para su trabajo sobre relatividad.Recibió el reconocimiento Einstein (Einstein Award) en 1951, y la medalla nacional de ciencias (National Medal of Science) en 1974.
*Hacia los años setenta las obsesiones y las paranoias se acentuaron. Vivía con el temor de ser envenenado y se negaba a comer si Adele, su esposa, no probaba antes la comida.
*Tras una larga hospitalización de su esposa, el más grande de los lógicos con la lógica más absurda, para no morir envenenado se dejó morir de hambre.
*De acuerdo con la autopsia, Kurt Gödel pesaba apenas 32 kilogramos cuando falleció en un hospital de Princeton en enero 1978.
- 3APORTACIONES DE KURT GÖDEL A LA LÓGICA*Publicó resultados en lógica formal que se consideran hitos de las matemáticas del siglo 20.
*Demostró que las esperanzas de reducir las matemáticas a un sistema axiomático como lo imaginaron los matemáticos y filósofos a principios del siglo 20 fueron en vano, sus hallazgos pusieron fin a esfuerzos lógicos como los de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead.
*Sus hallazgos pusieron fin a esfuerzos lógicos como las de Bertrand Russell y Alfred quienes demostraron las severas limitaciones del programa formalista de David Gilbert.
*Sus teoremas de incompletitud demostraban que en toda teoría formal que contenga a la aritmética existen afirmaciones cuya veracidad o falsedad no pueden ser comprobadas usando los axiomas de la teoría. En otras palabras, hay verdades matemáticas que no pueden ser demostradas en el interior de la teoría.
*El teorema de incompletitud decía que un sistema no puede ser a la vez consistente y completo.
- 4*Agudo, preciso, extremadamente reservado, continuó pensando en la existencia de un mundo ideal, platónico, donde vivían las matemáticas y al que podíamos acceder a través de la intuición. *En 1949 obtuvo una solución de las ecuaciones de la gravitación de Einstein que representan un modelo de universo que admite viajes en el tiempo; con las inevitables paradojas lógicas que significa alterar el pasado. *Demostró que los sistemas formales son febles, esto es, los programas totalizadores de formalización del razonamiento están inevitablemente destinados a fracasar. *Su aporte habría sido mostrar los alcances y las limitaciones intrínsecas del uso de lenguajes formales para representar el mundo que nos rodea.*Revolucionó nuestra manera de conceptualizar el entendimiento de lo humano.
*Demostró –usando la lógica matemática para ello– que el razonamiento humano está indisolublemente ligado a una noción material, mecánica, la de procedimiento.
*Sus hallazgos influyeron fuertemente en el descubrimiento posterior de que una computadora nunca puede programarse para responder a todas las preguntas matemáticas.
*Demostró que había algunos problemas en las matemáticas que eran imposibles de resolver, que la brillante y clara llanura de las matemáticas era en realidad un laberinto repleto de potenciales paradojas.
- 5*Gödel cambió la forma en que entendemos qué es la matemática, y las implicaciones de su trabajo en física y filosofía nos llevan al límite de lo que podemos saber. *Los teoremas de la incompletitud revolucionaron las matemáticas e inspiraron a personas de la talla de John von Neumann, quien creó la teoría del juego y Alan Turing, el creador del modelo de las computadoras que usamos. *Resultaron invaluables los descubrimientos de Gödel para la ciencia de la informática, pues el reconocimiento de que hay cosas que no se pueden probar marcó un límite a lo que las computadoras pueden resolver, evitando la pérdida de tiempo tratando de hacer lo imposible.*Para algunos filósofos, los teoremas demuestran que la mente humana tiene una cualidad especial que no puede ser imitada por las computadoras: nosotros podemos entender que la "oración de Göbel es verdadera" pero las máquinas no.
*Las teorías de Gödel podrían ayudarnos a descubrir una nueva física que devele el misterio de la conciencia.
*Gödel desarrolló un método para codificar signos y fórmulas llamado numeración de Gödel, el cual le permitió traducir teorías formales a operaciones aritmético-lógicas.
*Demostró que las matemáticas son incompletas, mediante sus dos teoremas. Para ello empleó los axiomas de Peano, la Forma normal de cantor, los problemas de Hilbert, la propia numeración que él mismo inventó y finalmente de la sucesión de Goodstein.
- 6*Gödel supo emplear las relaciones aritméticas para “cocinar” una fórmula que no puede ser demostrada ni refutada dentro del sistema formal, sopena de inconsistencia. *La fórmula de Gödel está construida de tal modo que, si fuera demostrable en el sistema formal, éste sería contradictorio; y si la negación fuera demostrable, también sería contradictorio. *Tuvo siempre preferencia por la idea de que las matemáticas estudian un dominio de objetos, de entidades independientes cuya existencia y propiedades son objetivas. *Aportó la visión intuitiva de los conjuntos que hoy prefieren los especialistas (denominada la concepción iterativa de los conjuntos).*Según esta concepción, comenzamos con un dominio limitado de objetos, por ejem-plo los números naturales, y formamos conjuntos de esos objetos.
*Dicho proce-so iterativo se concibe como abierto y absolutamente sin límites. La idea no está exenta de dificultades, pero ofrece una concepción sólida que justifica con relativa facilidad los axiomas habituales del sistema de Zermelo-Fraenkel, y acla-ra también por qué las famosas paradojas o contradicciones no afectan a la teoría axiomática de conjuntos.
*fue también el gran impulsor de lo que se llama a veces el “Programa de Gödel” en teoría de conjuntos, que encuentra su justificación en resultados como los anteriores y en el Teorema de Incompletud. La idea era avanzar hacia un mejor conocimiento del universo de los conjuntos introduciendo axiomas que establecen la existencia de lo que se llama “grandes cardinales” (con una modestia en la expresión que algunos califican de poética).
- 7*Gödel aportó la teoría de la demostración. *Generalizaciones de sus ideas han permitido la deducción de diversos otros resultados ralativos a los límites de los procedimientos computacionales. Uno de ellos es la irresolubilidad del "problema de la detención", que consiste en decidir, para un ordenador arbitrario provisto de un programa y de unos datos arbitrarios, si llegará a detenerse o si quedará atrapado en un bucle infinito. *Otro es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus). *Abandonó el trabajo en teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y hacia la teoría de la relatividad. * Gödel estaba dispuesto a afirmar que el tiempo realmente no existe.*El trabajo de Gödel sobre el tiempo en la relatividad es análoga a su tra-bajo sobre su teorema de incompletitud, aunque las conclusiones en estos dos casos son opuestas: En lógica, lo formal es insuficiente para captar lo que es intuitivamente verdadero (y, por lo tanto, lo formal se queda corto) mientras que aunque en física lo formal no puede captar nuestro concepto intuitivo de tiempo “...la relatividad es correcta, mientras que el tiempo, en sentido intuitivo, es una ilusión”.
*El argumento de Gödel sobre la irrealidad del tiempo es esencialmente correcto.
*Dada la “relatividad de la simultaneidad”, no hay un tiempo intuitivo (incluyendo una noción objetiva y universal de pasado, presente y futuro) en la teoría especial de la relatividad.
- 8*En la relatividad general hay (por lo menos algo parecido a) un tiempo intuitivo en ciertos modelos de la teoría, a saber: el tiempo cós-mico (cuya definición depende de la distribución y movimiento de la materia en el universo). *Hay también modelos en la relatividad general –los llamados “universos Gödel”– en los cuales no hay tiempo intuitivo ya que existen “curvas cerradas temporales”. *Aunque el mundo actual no parece estar bien descrito por los mode-los de Gödel sin tiempo (intuitivo), el hecho de que estos modelos son (físicamente) posibles implica que no hay tampoco tiempo (in-tuitivo) en el mundo real.*Gödel tiene en cuenta la relatividad general, ya que la teoría especial de la relatividad (como indica su nombre) no es en física la historia completa acerca del espacio y el tiempo.
*Gödel y Kleene formalizaran el cálculo lambda. Este cálculo
captura la noción abstracta de función
a partir de un análisis de la noción de
evaluación.
*El cálculo lambda consiste en resolver un problema, pero hay que
tener un formalismo para describir
funciones (sin que necesariamente se
apliquen a nada aún). En segundo lugar, es
necesario defi nir la noción de aplicación
de la función.
*La evaluación entonces
será el “procedimiento” y con este formalismo se pueden
aplicar funciones a funciones, etc.
- 9*Gödel –quien es el arquetipo de la precisión y rigurosidad lógica– considera que el análisis de Turing demuestra que los procedimientos mecánicos son equivalentes a la noción de función recursiva. En otras palabras, que la noción de función recursiva captura la noción de procedimiento efectivo. *G¨odel estaba convencido de que el mundo se rige por principios racionales susceptibles de ser comprendidos por la mente humana, y consideraba fundamental el papel de la reflexión introspectiva para alcanzar el conocimiento.*La demostración del teorema de incompletitud se apoya en dos ideas claves: por un lado, Gödel tuvo la destreza de codificar frases y enunciados a través de números. Al hablar de números, ahora hablamos también de enunciados. Por otro lado, utilizó un argumento diagonal semejante al que usó Georg Cantor para demostrar que, pese a que hay tantos números racionales como naturales, hay muchos más números reales que naturales
*A raíz de los trabajos de Gödel se consolidaron diversas disciplinas dentro de la lógica matemática: por un lado, la teoría de conjuntos como paradigma de un formalismo autosuficiente, la teoría de la recursión y de la demostración, con un enfoque sintáctico y algorítmico, así como la teoría de modelos.
- 10*En sus últimos años estaba convencido de poder demostrar con argumentos lógicos la existencia de una entidad superior, que podemos llamar Dios sin atribuirle ninguna religión en particular. *sostuvo que sus teoremas demostraban que el platonismo matemático era la postura correcta en la filosofía de las matemáticas. * Gödel comenta la naturaleza de la matemática y su contenido y afirma la imposibilidad del conocimiento matemático si al mismo tiempo se sostiene una tal eliminación de la percepción racional.*El platonismo sostiene que los objetos matemáticos tienen una existencia objetiva, y que el trabajo de los matemáticos consiste en describir las características de esos objetos.
*Muestra que no hay ningun metodo de prueba formal (sintáctico) con el que poder demostrar todas las verdades de las matemáticas.
*Gödel parece decir que, una vez que tenemos las ideas claras acerca de lo fundamental, el resto vendrá dado por añadidura.
*Algunas partes de las matemáticas, dice Gödel, podrían estar completamente formalizadas, pero, en general, no es posible mecanizar el razonamiento matemático, al menos no desde sí mismo
Informações
- Descrição
- Aportaciones de Kurt Gödel acerca de la lógica, por Anahí Martínez Beltrán
- Criado por
- ANAHI MARTINEZ BELTRAN
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