Mathematische Methoden der Theoretischen Physik - Test 2

Flo Lindenbauer
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Flo Lindenbauer
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Description

Green'sche Funktion, Sturm-Liouville-Theorie, Differentialgleichungen der Fuchs'schen Klasse, Gamma-Funktion, Pochhammer-Symbole, Legendre-Polynome, folgt lose dem Skriptum "Mathematical Methods of Theoretical Physics": https://arxiv.org/abs/1203.4558

Resource summary

Question 1

Question
Sei L ein Differentialoperator. Welche Voraussetzungen an L müssen gelten, damit die zu L gehörige Greensche Funktion mittels Fouriertransformation berechnet werden kann.
Answer
  • L ist translationsinvariant
  • L ist linear
  • Die Koeffizienten des Differentialoperators sind Polynome vom Maximalgrad 1
  • L ist ein homogener Differentialoperator

Question 2

Question
Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem. Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man [blank_start]Dirichlet[blank_end] Randbedingung. Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man [blank_start]Neumann[blank_end] Randbedingung. Es gibt auch noch [blank_start]periodische[blank_end] Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)
Answer
  • Dirichlet
  • Neumann
  • periodische

Question 3

Question
Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Sturm-Liouville Gestalt gebracht werden?
Answer
  • Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
  • Die Koeffizienten sind Polynome vom Maximalgrad 1
  • Differentialgleichungen der Fuchs'schen Klasse
  • Translationsinvariante Differentialgleichungen

Question 4

Question
Gegeben sei die Differentialgleichung \(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\) \(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\) Welche Aussagen treffen zu?
Answer
  • Die Eigenwerte sind komplex und abzählbar
  • Zu jedem Eigenwert gibt es eine Eigenfunktion
  • Es kann keine Aussage über die Nullstellen von Eigenfunktionen getroffen werden
  • Die Eigenfunktionen bilden eine Orthogonalbasis
  • Der Differentialoperator ist selbstadjungiert

Question 5

Question
Wie erhält man aus einer Differentialgleichung die Sturm-Liouville'sche Normalform, sofern sie existiert.
Answer
  • Fouriertransformation
  • Bilden des inversen Operators
  • Sturm-Liouville Transformation
  • Anwendung eines normalen Operators

Question 6

Question
Was darf nicht auftreten, damit ein Separationsansatz bei einer Differentialgleichung zum Erfolg führt?
Answer
  • Gemischte Ableitungen
  • Zweite Ableitungen
  • Der Laplace-Operator
  • Ableitung nach der Zeit
  • Ableitungen nach verschiedenen Variablen

Question 7

Question
Stimmt diese Gleichung? \(\Gamma(n)=(n+1)!\)
Answer
  • True
  • False

Question 8

Question
Was ist eine Verallgemeinerung der Fakultät?
Answer
  • Pochhammer Symbol
  • Gamma-Funktion
  • Legendre-Polynome
  • Riemann'sche Differentialgleichungen

Question 9

Question
Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert? a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\) b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\) c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\) d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)
Answer
  • a
  • b
  • c
  • d

Question 10

Question
Wie kann die Fakultät geschrieben werden? a) \(n!=\Gamma(n)\) b) \(n!=\Gamma(n+1)\) c) \(n!=\Gamma(n-1)\) d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol) e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol) f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion
Answer
  • a
  • b
  • c
  • d
  • e
  • f

Question 11

Question
Gegeben sei die Differentialgleichung \(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\) Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?
Answer
  • Die Koeffizienten a_n sind an allen Stellen regulär
  • Die Koeffizienten a_n sind regulär bis auf endliche viele singuläre Stellen, wobei jede singuläre Stelle eine Stelle der Bestimmtheit ist.
  • Die Koeffizienten a_n sind regulär bis auf endliche viele singuläre Stellen
  • Die Koeffizienten a_n haben maximal Pole 3. Ordnung an einer einzigen Stelle

Question 12

Question
Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung der Fuchs'schen Klasse. Wir führen einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz (Frobenius-Methode) durch. Durch Bestimmung des charakteristischen Exponenten können wir erkennen, ob wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung leicht finden können. Wann ist dies nicht der fall?
Answer
  • Beide charakteristische Exponenten sind gleich
  • Beide charakteristische Exponenten sind verschieden
  • Die charakteristischen Exponenten unterscheiden sich um die Ordnung der Differentialgleichung
  • Die Charakteristischen Exponenten unterscheiden sich um eine ganze Zahl

Question 13

Question
Welche Normierung wählt man für die Legendre-Polynome?
Answer
  • Das Integral von -1 bis 1 zusammen mit einer Gewichtsfunktion muss 1 sein
  • Das Polynom muss an der Stelle 1 den Wert 1 haben
  • Das Polynom muss an der Stelle 0 den Wert 1 haben
  • Das Polynom muss an der Stelle -1 den Wert 1 haben
  • Die daraus resultierende Polynomfunktion muss gerade sein

Question 14

Question
Wie können die Legendre-Polynome erzeugt oder definiert werden?
Answer
  • Gram-Schmidt Verfahren angewandt auf die Monom-Basis mit anschließender Normierung
  • Eigenfunktionen einer bestimmten Differentialgleichung
  • Über die Rodrigues Formel
  • Als Koeffizienten der Taylor-Entwicklung einer bestimmten Funktion
  • Als Koeffizienten einer Fourier-Reihe einer quadratisch integrierbaren Funktion

Question 15

Question
Sei \(n\) gerade. Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?
Answer
  • (n!)!
  • Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich n
  • Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich n
  • k! mal 2 hoch k, wobei k=n/2
  • Spur eines bestimmten unitären Operators
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