Introducción a las matrices

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números del arreglo se conocen como elementos de la matriz.Se usarán letras mayúsculas como: A, B, C, etc. para denotar matrices y minúsculas para denotar los elementos; por tanto, se podría escribir:

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Caption: : Como se ve, las matrices tienen diferentes tamaños. El tamaño de una matriz se describe especificando el número de renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que se presentan en ella.

Tipos de matrices

Según el orden Matriz rectangular: Si el número de filas o renglones y el número de columnas no coincide, es decir, (mXn). Matriz cuadrada de orden n: si el número de filas y el de columnas coincide, es decir, m = n. Matriz fila: Si sólo tiene una fila, es decir, m = 1. Matriz columna: Si solo tiene una columna. es decir, n = 1.Según sus elementosMatriz nula: si todos los elementos son 0

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Según sus elementosMatriz escalonada: Si al principio de cada fila (columna) hay al menos un elemento nulo más que en la fila (columna) anterior. https://www.youtube.com/watch?v=anyVteqjBTEhttps://www.youtube.com/watch?v=2T0P8AEBaIwMatriz triangular superior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son 0.  Matriz triangular inferior: si es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son 0.

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Caption: : MATRIZ TRIANGULAR

Tipos de matrices

Según sus elementosMatriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son 0.Matriz escalar: si es una matriz diagonal en la que todos los elementos que están en la diagonal principal coinciden.https://www.youtube.com/watch?v=VhOPduuK3DI Matriz identidad o matriz unidad: si es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.

Tipos de matrices

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Caption: : Matriz identidad

Suma Si A y B son dos matrices cualesquiera del mismo tamaño, entonces la suma A + B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos ij correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tamaños diferentes no se pueden sumar. Resta Si A y B son dos matrices cualesquiera del mismo tamaño, entonces  A - B es la matriz que se obtiene al restar los elementos ij correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tamaños diferentes no se pueden restar.

Operaciones con matrices

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Caption: : Suma y Resta de Matrices

Multiplicación

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Caption: : Multiplicación I .- Si A es una matriz cualquiera y k es cualquier escalar, entonces el producto k x A es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por k.

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Caption: : Multiplicación II .- Si A es una matriz de m x r y B es una de r x n, entonces el producto AB es la matriz de m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón i y la columna j de AB, distíngase el renglón i de la matriz A y la columna j de la B. Multiplíquense los elementos correspondientes del renglón y columna y, a continuación, súmense los productos resultantes.

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Caption: : En algunas situaciones es necesario y prudente manejar las matrices como bloques de matrices más pequeñas, estas son llamadas submatrices, y después multiplicar bloque por bloque en vez de componente por componente. La multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices.

Matrices por bloques

Reglas del álgebra de Matrices

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Caption: : Aun cuando muchas de las reglas de la aritmética para los números reales también se cumplen para las matrices, hay algunas excepciones; una de las excepciones más importantes se presenta en la multiplicación de matrices.

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Inversa de una matriz y matriz elemental

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Caption: : Si A es una matriz cuadrada cualquiera y si es posible hallar una matriz B tal que AB = BA =1, entonces se dice que A es inversible y B se conoce como inversa de A.

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Caption: : Definición se dice que una matriz de n x n es una matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad de n x n realizando una sola operación elemental sobre los renglones.