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Description
Flashcards by Gustav Glanz, updated more than 1 year ago
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Created by Gustav Glanz
almost 6 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist ein System? | Ein Teilbereich der Wirklichkeit |
| Wie wird mathematisch Modeliert (m.M.)? | Kriterien auswählen (Modelgrößen) Bennenung der Variablen (V=Volumen..etc) Vereinfacht = Wentliches - Unwesentliches |
| Welchen Zweck erfüllen m.M.? | - Verständnis des Systems - Simulation und Prognose - Identifikation nicht messbarer Parameter - Qualitative Analyse -Rechnergestützter Entwurf - Optimierung des System-Verhaltens |
| Was sind statische, was sind dynamische Modelle? | stat. = ohne Zeitverlauf dyn. = mit Zeitverlauf |
| Was ist der Differenzenquotient? |
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D G (binary/octet-stream)
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| Was ist ein Differenzialquotient? |
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Dg (binary/octet-stream)
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| Wie überprüft man ob eine Funktion die Lsg. einer DG ist? |
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Dg. (binary/octet-stream)
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| Wie überprüft man eine Modellannahme? | Auf Homogenität in der Dimension (Größen EH links von "=" ident mit rechts) Auf Plausibilität prüfen (z.B. 2x mehr Geschw. --> halbe Zeit) |
| Welche Eigenschaften zeichnen ein gutes Modell aus? | |
| Wofür steht das "Ockhams Skalpell"? | Wenn Parameter, Variablen etc. weggelassen werden können, ohne dass das Modell sein charakteristisches Verhalten verliert. |
| Wie werden Gesetze für ein Sys. entdeckt? | 1.) Beobachten des Sys [H] 2.) Hypothese [H -> B] 3.) Was könnte [H] hervorbringen [H -> V(?)] 4.) Experiment ob V eintrifft |
| Was bedeutet "contraposition"? bei der Modellierung? | Bedeutet einen logischen zusammenhang von: Wenn Q eintrifft --> H trifft ein Wen Q NICHT eintrifft --> H auch nicht |
| Was sind Diskreptive Modelle? | Beschreibt wie das Modell zu gewissen Zeitpunkten "aussieht". Soll möglichst systematisch und wiederholend passieren Bsp: Foto, Beschreibung mit Worten, Quantitavie Methoden (Gleichungen, Statistiken) |
| Was ist ein Regl-basiertes Modell? | Ebenfalls beschreibend, aber Beobachtungen sollen als Folge von Regeln erklärt werden. Und Verhalten vorhergesagt werden. Bsp: Bewegung der Planeten durch Gravitation |
| Können Hypothesen durch Experimente verifiziert werden? | NEIN |
| WIE KOMMT MAN ZU MATHEMATISCHEN MODELLEN? | 1.) Beobachten des Sys. 2.) Regeln zur Erklärung einführen 3.) Vorherssage vergleichen mit weiteren Beobachtugen 4.) Wdh 1-3 bis zufriedenstellend |
| Was sind die Schlüsselfragen beim mathematischem Modellieren? | 1.) Was soll beantwortet werden? 2.) Was sind die mikro Bestandteile 3.)Wie wechselwirken die mikro Best. 4.) Was sind die möglichen Sys-Zustände 5.) Welche dyn. Änderung der Zustände über die Zeit gibt es? |
| Was ist ein dynamisches System? | Ein Sys. dessen Zustand durch Variablen spezifiziert wird und dessen Verhalten durch Regeln beschrieben wird. |
| Was ist der unterschied zwischen zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen Modellen? | Zeitdiskret x_t= F(x_t-1;t) zu gewissen Zeitpunkten (0,1,2....) Zeitkontinuierlich dx/dt=F( x(t) ; t ) fortlaufende fließende Zeitpunte (IR) |
| Bei zeitdiskreten Messungen kann der ZUSTAND nur als diskret und nicht als kontinuierlich verwendet werden! WAHR ODER FALSCH? | FALSCH! z.B. bei Populations Beispiel, wird die Population nicht ganzzahlig (sondern zur Vereinfachung zustandskontinuierlich) angegeben |
| Bei zeitkontinuierlichen Messungen kann der Zustand sowohl diskret als auch kontinuierlich verwendet werden! | FALSCH!!! Bei zeitkontinuierlichen Modellen, verlangt es nach stetig differenzierbaren Funktionen! Daher nur kontinuierlich! |
| Steckbrief zu: D-G | x_t = F( x_t-1; t) Zustände x0->x1->x2....->xn (schrittweise) Ohne Berechnung möglich: GG und Stabilesverhalten |
| Steckbrief zu: DG | d/dt x(t) = F( x(t), t) entspringt nur t (IR^n, t>=0) unendlich viele Lsg |
| Was sind die Unterschiede zwischen einem Zeitplot und einer Zustandsraumdarstellung? | Vorteil Phasenraums: - dynamische Änderungen des Sys. als statische Trajektorien dargestellt - intuitven, geometrischen Einblick. - langfristiger Zustand (Attraktoren) - Anfangszustand kann Trajektorien zuordnet werden |
| GEWICHT AN EINER FEDER -PHASENRAUMANALYSE ohne Reibung |
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E (binary/octet-stream)
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| GEWICHT AN EINER FEDER -PHASENRAUMANALYSE mit Reibung |
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F (binary/octet-stream)
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A (binary/octet-stream)
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B (binary/octet-stream)
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Dd (binary/octet-stream)
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D (binary/octet-stream)
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| Können sich Trajektorien (Boundkurven) schneiden? | NEIN Sind Linien/Kurven im Phasenraum |
| Eine Differenzengleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion mit einer oder mehrerer ihrer Ableitungen in Beziehung setzt. | Falsch. Es ist die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten der Funktion. |
| Bei einem Attraktor handelt es sich um ein instabiles Gleichgewicht, von welchem sich die Dynamiken im Phasenraum weg bewegen. | FALSCH! Ein Attraktor ist ein GG-Punkt eines Systems! |
| Beinhaltet ein Modell zwei Zustandskomponenten, kann man diese im Phasenraum zweidimensional darstellen. | RICHTIG! |
| Was nennt man ein INstabilesgleichgewicht? | Repellor, kleinste Störung führt zu weg bewegung vom GG. Attractor=stabiles GG |
| GG einer DG kann angenähert werden aber wird nie erreicht? | RICHTIG! Mathematisch wird ein stabiles GG nie ganz erreicht, jedoch von Trajektorie angenähert. |
| Was ist ein Limit Cycle? | Eine geschlossene Boundkurve, zeigt periodisches Verhalten. |
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Zeige die Gleichgewichte:
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Gg (binary/octet-stream)
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Gg1 (binary/octet-stream)
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| Def. von lin. Systemen? | Dyn. Gleichung, die Linearkombinationen der Zustandsvariablen enthalten: Konstante*Var. Konstante Summe daruas |
| Was ist der unterschied zwischen affinen und linearen Funktionen | lin: F(x,t) = A*x affin: F(x,t) = A*x + c |
| Unterschied von autonomen und nicht autonomen Systemen? | Autonom dyn. Gleichung deren Regel nicht explicit die Zeit t einschließt. (nur indirekt über Zustandsvektor) Nicht Autonom dyn. Gleichung beinhalten die Zeit t oder andere externe Variablen. |
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Li (binary/octet-stream)
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Lidi (binary/octet-stream)
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| Können nicht autonome höhere D-G immer in autonome erster Ordung umgeformt werden? | JA!! Durch zusätzliche Satusvariablen! x_t = x_t-1 + x_t-2 (neue y_t = x_t-1) --> y_t-1 = x_t-2 --> x_t = x_t-1 + y_t-1 |
| Können nicht autonome Gleichungen in autonome transformiert werden? |
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Zz (binary/octet-stream)
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| Sind nicht lineare Gleichungen analytisch lösbar? | NEIN!! Analytisch bedeutet auf der rechten seite nur von Skalar (z.b. t) abhängig: x_t = f(t) --> Ist nicht von Zustandsvariablen abhängig! Vorteil ohne zuvor Historie betrachten zu müssen lösbar. Deshalb NEIN!!! Geht nur für lin. Sys. |
| Was ist der unterschied beim modellieren zwischen einer Simulation und einer zur qualitativen Analyse? | Bei der Simulation werden Parameter für gewisse Werte fixiert. Bei der qualitativen Analyse bleiben diese Parameter frei (Variablen). |
| Was sind dei 3 Komponenten einer Simulation? | •Initialisierung AW der Zust. Var. festlegen •Beobachtung Erhebung und Aufbewahrung des aktuellen Zustands •Aktualisierung (Neubezeichnung von Zuständen) |
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Q (binary/octet-stream)
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Qq (binary/octet-stream)
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Ee (binary/octet-stream)
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E (binary/octet-stream)
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R (binary/octet-stream)
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Rr (binary/octet-stream)
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Ww (binary/octet-stream)
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W (binary/octet-stream)
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| Welches Verhalten können Lineare dynamische Systeme aufweisen? | - Linear - Exponentiel Wachs./Zerfall - periodische Oszillation (Kreis) - stationäre GG (keine Veränderung) - oder Mischform (wie exponentiell wachsende Oszillation) |
| Nach welchen 5 Schritten wird ein mathematisches Modell erstellt? | 1) Starte mit bekannten Modellen 2) Implementiere Modifikationen des Modells schrittweise 3) Ersetze einen Teil des Modells durch unbekannte Funktionen 4) Beginne so einfach wie möglich 5) Teste das Modell auf Extremstellen, GG, 0-Stellen, Kapazitätsgrenzen |
| Modelliere ein Räuber Beute Modell Schritt für Schritt nach Lotka Volterra! |
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Rb (binary/octet-stream)
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Gg0 (binary/octet-stream)
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0 (binary/octet-stream)
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Gg1 (binary/octet-stream)
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Ggl1 (binary/octet-stream)
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| Grafische Lösung im Phasenraum? |
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Gg1 G (binary/octet-stream)
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Gg2 (binary/octet-stream)
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Ggl2 (binary/octet-stream)
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| Grafische Lösung im Phasenraum? |
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Gg2 G (binary/octet-stream)
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Gg$ (binary/octet-stream)
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Ggl3 (binary/octet-stream)
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| Grafische Lösung im Phasenraum? |
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Gg3 G (binary/octet-stream)
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| Was sind nötige Vorrausetzungen für den COBWEB PLOT? | 1-Dim Sys! mit x_t-1 auf der X-Achse und x_t auf der Y-Achse |
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Cob1 (binary/octet-stream)
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Cob (binary/octet-stream)
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Wo sind die GG?
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Cob1 (binary/octet-stream)
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Cob Gg (binary/octet-stream)
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Equ (binary/octet-stream)
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Eq Cob (binary/octet-stream)
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| Das Asymptotische ______ von Systemen in der langen (________ ) Frist, ist für _______ Systeme _________ vorhersagbar! | Das Asymptotische VERHALTEN von Systemen in der langen (UNENDLICHEN) Frist, ist für LINEARE Systeme VÖLLIG vorhersagbar! |
| Wie lässt sich ein affiness Model zu einem Linearen umformen? x_t = A*x_t-1 + a |
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Affi (binary/octet-stream)
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| Warum gilt x_t= A^t * x_0 ist gleich wie x_t = A *x_t-1? | Weil A^t = A * A^t-1 (! A=A^1 !) --> A^0 = Einheitsmatrix |
| Was ist der Eigenwert λ, bzw. Eigenvektor? | Die EV ändern die Richtung beim Abbilden nicht. Der Eigenwert λ ist genau der Faktor, um den die EV gestaucht oder gestreckt werden, wenn man die Abbildung A auf sie an. |
| Der EW λ mit der höchsten Zahl (größer 0) ist der dominante EW! Wahr oder Falsch? | FALSCH! |λ| der absolute Wert (BETRAG zählt) |
| Wenn es _____ gibt, dann wird der Zustand des Sys asymptotisch in jene Richtung zeigen, die durch den __________ gegeben wird unabhängig vom ________. | Wenn es NUR EINEN DOMINANTEN EW gibt, dann wird der Zustand des Sys asymptotisch in jene Richtung zeigen, die durch den EIGENVEKTOR gegeben wird unabhängig vom ANFANGSWERT. |
| Wie berechnet man den EW? | |
| Der EW sagt uns ob der jeweilige EV wächst oder schrumpft! |λ|>1 |λ|<1 |λ|=1 |
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Ew (binary/octet-stream)
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| Der absolute |BETRAG| vom Eigenwert bestimmt die Stabilität des Systems |
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Ewd (binary/octet-stream)
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| Wie berechnet man den Eigenvektor? |
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Ev (binary/octet-stream)
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| Wenn die _________ komplex sind ,dann ________ der Systemzustand um seinen Ursprung im Phasenraum. |λ|>1 |λ|<1 |λ|=1 |
Wenn die EW komplex sind
,dann ROTIERT der Systemzustand um seinen Ursprung im Phasenraum.
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Komp (binary/octet-stream)
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| Zeichne ein Zustandsraum von einer Matrix mit Komplexen Eigenwert: |λ|>1 | |
| Zeichne ein Zustandsraum von einer Matrix mit Komplexen Eigenwert: |λ|=1 |
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Cc (binary/octet-stream)
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| Zeichne ein Zustandsraum von einer Matrix mit Komplexen Eigenwert: |λ|<1 |
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Cstab (binary/octet-stream)
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| Für mehrdimensionale Systeme können verschiedene Arte von __________ gleichzeitig auftreten. (expon Wachstum/Zerfall, Rotation etc.) Das Verhalten findet ________ & ________ statt. | Für mehrdimensionale Systeme können verschiedene Arte von EIGENWERTEN gleichzeitig auftreten. (expon Wachstum/Zerfall, Rotation etc.) Das Verhalten findet SIMULTAN & UNABHÄNG statt. |
| Die DYnamik einer linaren _____ ergibt sich durch die ______________ (Linearkombination) der eindimensionalen Dynamiken in Richtung der ________. | Die DYnamik einer linaren D-G ergibt sich durch die SUPERPOSITION (Linearkombination) der eindimensionalen Dynamiken in Richtung der EIGENVEKTOREN. |
| Was besagt die Taylorentwicklung? |
Besagt, dass es genügt ein nicht lin. Sys. auf "kleine" Störungen im GG zu untersuchen um dessen verhalten zu analysieren!
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Ttay (binary/octet-stream)
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| Was besagen die Werte: |F´(x_eq)| > 1 |F´(x_eq)| < 1 | |F´(x_eq)| > 1 Δx_t wächst expon gegen ∞ (GG INSTABIL) |F´(x_eq)| < 1 Δx_t fällt expon gegen 0 (GG STABIL) |
| Zeige | Graph >1 |
| Zeige > 1 | graph |
| zeige 3 | ??? |
| Was ist die Jacobimatrix? |
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Jacobi (binary/octet-stream)
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Stab1 (binary/octet-stream)
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Stabil (binary/octet-stream)
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| Vorgehensweise bei erstellung der Jacobi-Matrix? |
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Jaci (binary/octet-stream)
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| Zeit-Kontinuierliche Modelle werden mithilfe von _____ dargestellt die Trajektorien im Phasenraum sind _______ und ______ sich nicht! Die Ordnung einer DG wirt durch ihre ___________ bestimmt. | Zeit-Kontinuierliche Modelle werden mithilfe von DG dargestellt die Trajektorien im Phasenraum sind STETIG und ÜBERSCHNEIDEN sich nicht! Die Ordnung einer DG wirt durch ihre HÖCHSTE ABLEITUNG bestimmt. |
| Nicht-autonome Differenzialgleichungen höherer Ordnung können, wie im zeit-diskreten Fall, in autonome DG erster Ordnung transformiert werden, indem neue Zustandskomponenten eingeführt werden?? | WAHR |
| Wie unterscheiden sich DG & D-G im anblick auf ihre Zeit Intervalle? | D-G Zeit diskret t = 0,1,2,.... DG Zeit kontinuierlich t∈[t_0, t_1] ⊆ IR z.B.: t∈[0, ∞) |
| Als was bezeichnet man einen "BLOW UP" bei einer nicht-linearer DG? |
nicht lin. DG können nicht analytisch gelöst werden, da sie in endlicher Zeit gegen ∞ gehen können (blow up)!
Bei linearen DG bräuchte es dazu ∞ viel Zeit
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Blow (binary/octet-stream)
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| Was haben Analoge Modele gemeinsam? | Sind DG & D-G zueinander ähnlich haben sie die dieselben: Gleichgewichte Modelierungsüberlegungen für manche Paramenter ähnliche Lösungen |
| Was ist bei der Überführung einer logistischen Gleichung zu beachten? | D-G sehr komplex, chaotisches Verhalten bei bestimmten Parameter! DG kein Chaos, alles LG sind monoton steigend oder fallend |
| Wozu dienen Analogien bzw. die Überführung mancher Modelle DG <---> D-G | Nützlich da. Modellbildung vielseitiger & einfacher wird durch Diskretisierung Lsg von DG näherungsweise simuliert werden können Da für lin. M. der Unterschied in den Stabilitätskriterien erklärt werden kann (EW für D-G, vs Realteil der EW für DG) |
| Wie können D-G durch Diskretisierung näherungsweise berechnet/simuliert werden? | - Numerische Integration = Berechnung mit einer Lsg für DG Anfangswert & Parameter werden fixiert Vorwörts-Euler-Verfahren |
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Diskretisiere das Wachstumsmodel mit dem Vorwärts-Euler Verfahren
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Logi (binary/octet-stream)
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| Was sind Gleichgewichte in Zeitkontinuierlichen DG? | Nullstellen! Weil dx/dt Änderung ist, und im Punkt x_eq ändert sich das Modell nicht mehr! |
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Chra (binary/octet-stream)
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Chara (binary/octet-stream)
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Finde die Gleichgewichter des Modells
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Gg Fin (binary/octet-stream)
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| Stelle eine Model für ein Logistisches Wachstuma auf und analysiere die Gleichgewichtspunkte einmal für eine DG, und einmal für eine D-G! | |
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0lsg (binary/octet-stream)
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| Wie sehen die Null-Clients dieser Funktion aus? | |
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Wie wird die Richtung der Trajektorien bestimmt?
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Trak (binary/octet-stream)
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Die Nullclient Gleichungen so preperieren damit man in jedes der 4 Quadrate kommt |
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Prf (binary/octet-stream)
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Prf1 (binary/octet-stream)
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| Wichtige Punkte zusammengefasst über den Zustandraum/Phasenraum? |
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Zusr (binary/octet-stream)
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