Sachrechnen Vorlesung 5

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Größe	- physikalische Größe: eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes (Objekte (Gegenstände, Objekte) selbst und Merkmale (Aussehen, Geschmack) sind keine Größen) - in der Schule: Geldwerte als ökonomische Größe - Physikalische Größen: Einteilung in Grundgrößen (Basisgrößen), abgeleitete Größen und dimensionslose Größen - Jede Basisgröße ist so festgelegt, dass sie nicht durch andere Basisgrößen ausgedrückt werden kann. - Das internationale Größensystem (abgekürzt ISQ (von engl.: International System of Quantities)) hat folgende sieben Basisgrößen: Länge, Masse, Zeit, thermodynamische Temperatur, Stromstärke, Stoffmenge, Lichtstärke
Größentabelle	Image: Image (binary/octet-stream)
Zusammensetzung abgeleiteter Größen	- • Fläche = Länge mal Länge • Geschwindigkeit = Weg pro Zeit • Dichte = Masse pro Volumen
Größenwert	- Die Angabe des Größenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit (Ausnahme: dimensionslose Größen)
Formatierung	- Das Formelzeichen wird kursiv geschrieben, während das Einheitenzeichen mit aufrechter Schrift geschrieben wird, um es von Formelzeichen zu unterscheiden. Bsp: „m“ bezeichnet das Formelzeichen für die Größe „Masse“ und „m“ das Einheitenzeichen für die Maßeinheit „Meter“. - Zwischen der Maßzahl und dem Einheitenzeichen wird ein Leerzeichen geschrieben. Ausnahme: Gradzeichen werden ohne Zwischenraum direkt hinter die Maßzahl geschrieben („ein Winkel von 180°“), sofern keine weiteren Einheitenzeichen folgen (die Außentemperatur beträgt 23 °C).
Dimensionslose Größen	- Eine dimensionslose Größe (korrekte Bezeichnung: Größe der Dimension Eins) ist eine physikalische Größe, die durch eine reine Zahl ohne Maßeinheit angegeben wird. (Der Deutlichkeit zuliebe können in manchen Fällen Hilfsmaßeinheiten verwendet werden, die jedoch keine Dimension bezeichnen.) - Beispiele: –Anzahlen, auch, wenn sie in einem Zählmaß wie beispielsweise Dutzend angegeben sind –Angaben in Verhältniseinheiten wie beispielsweise Prozent, Promille –Ebene Winkel (Basiseinheiten Radiant) –Verhältniszahlen, d. h. Quotienten aus zwei dimensionsgleichen Größen (z. B. Wirkungsgrad) – Wahrscheinlichkeiten
Dezimale Vielfache und Teile (Greefrath)	Image: Image (binary/octet-stream)
Rechenregeln für Größen	- nicht alle Rechenoperationen für physikalische Größen sinnvoll - Addition und Subtraktion ist nur zwischen Größen der gleichen Größenart möglich (allerdings nicht immer sinnvoll, s. Volumina). - Multiplikation und Division sowohl von verschiedenen Größen als auch mit reinen Zahlen sind uneingeschränkt möglich, allerdings nicht immer sinnvoll (Ergebnis häufig eine neue physikalische Größe) - Transzendente Funktionen wie exp, log, sin, cos, usw. sind nur für reine Zahlen definiert und damit nur bei dimensionslosen Größen möglich. - Unsinnige Rechenoperationen, z. B.: • 30 s + 10 m • 20 kg – 3 m • sin(10 m) • log(5 m/s)
Gleichartige Größen	- Wenn der Quotient von zwei Größenwerten verschiedener Größen eine reelle Zahl ist, so sind die zugehörigen Größen gleichartig.
Größenart	- ist der Oberbegriff für alle Größen, die paarweise gleichartig sind. - Repräsentanten von Größen sind konkrete Objekte, mit denen man in einer bestimmten Art und Weise handelt und die alle einen Namen, der dieser Größe entspricht, führen. (Z. B. kann ein Kugelschreiber ein Repräsentant der Größe 15 cm sein.) - Ein und dieselbe Größe kann immer durch verschiedene Namen (nämlich mittels verschiedener Maßzahlen und Maßeinheiten) angegeben werden. (Beispiele für verschiedene Namen ein und derselben Größe: 5 ha = 50.000 m², 25 m3 = 25.000 l.) - Ein und dieselbe Größe hat viele verschiedene Repräsentanten.
Größenart 1	Image: Image (binary/octet-stream)
Größenart 2	Image: Image (binary/octet-stream)
Die Definition einer Äquivalenzrelation auf der Menge der Repräsentanten für Größen einer Größenart bewirkt eine Klasseneinteilung dieser Menge:	äquivalente Repräsentanten von Größen gehören derselben Klasse an, – nichtäquivalente Repräsentanten von Größen gehören unterschiedlichen Klassen an, – die Klassen sind disjunkt, – die Vereinigung der Klassen ist gleich der Menge von Repräsentanten von Größen der Größenart.
Der Vergleich von Größen bzw. deren Repräsentanten innerhalb einer Größenart entspricht mathematisch der Anwendung von Äquivalenz- und Ordnungsrelationen	Image: Image (binary/octet-stream)
Vergleich von Größen	Sei G eine Menge von Größen / Repräsentanten für Größen einer Größenart. Dann gilt das Trichotomiegesetz: Für a, b ∈ G gilt stets genau einer der drei Fälle: a<b, b<a, a=b
Addition von Größen	- Assoziativ und kommutativ, da wir mit reellen Zahlen rechnen Größen einer Größenart verhalten sich nicht immer additiv! - Insbesondere ist dies bei Volumina von Flüssigkeiten zu beachten. (50ml Wasser und 50ml Alkohol sind nicht 100ml) - Für Massen gilt dies allerdings immer (Massenerhaltungsgesetz) Sind m, n natürliche Zahlen und g, h Größen derselben Größenart G, so gilt stets: (1) m (g + h) = mg + mh (2) (m + n)g = mg + ng (3) m(ng) = (mn)g
Teilbarkeitseigenschaft	Eine Größenart hat die Teilbarkeitseigenschaft genau dann, wenn es zu jedem Element a aus der Menge der Größen dieser Größenart G und zu jedem n ∈ N stets ein x ∈ G gibt, sodass n · x = a. (also wenn kleinere Einheiten der Größenart entsprechen durch vervielfachen in eine größere überführt werden kann) (20 m=10*20 dm) - Die Division von Größen durch natürliche Zahlen ist nicht in allen Fällen möglich. Bsp: Größe Geld • bei Bargeld ist es nicht möglich beliebig zu dividieren • 1 € : 200 = 0,005 € = 0,5 ct. Dies Münze gibt es nicht! -Längen, Flächen und Temperaturen haben die Teilbarkeitseigenschaft. – Stückzahlen besitzen nicht die Teilbarkeitseigenschaft. – Für eine Größenart mit Teilbarkeitseigenschaft gibt es in der Menge aller Größen dieser Größenart G kein kleinstes Element.
Messen	heißt feststellen, wie oft ein Repräsentant einer als (Einheit dienenden) Größe in einem Repräsentanten einer anderen Größe gleicher Art enthalten ist.
Schätzen	heißt gedanklich feststellen, wie oft in einem vorgegebenen Repräsentanten einer Größe ein Repräsentant einer Größe gleicher Art, von dem man möglichst genaue Vorstellungen hat, enthalten sein könnte. (D. h., Schätzen ist mentales Messen.)
Spezielle Verfahren zum Bestimmen von Näherungswerten	-Schätzen gedankliches Bestimmen eines Näherungswertes für eine bestimmte Anzahl von Dingen (z. B. durch geschicktes Bündeln, durch (optischen) Vergleich mit einer Menge von Dingen, von der man die genaue Anzahl kennt) • Abschätzen gedankliches Bestimmen von 2 Näherungswerten für eine bestimmte Anzahl von Dingen, und zwar einer unteren und einer oberen Schranke Beispiel: 300 < 325 < 400 • Überschlagen: Beim Überschlagen werden Zahlen so vereinfacht, dass durch mündliches Rechnen bzw. durch Kopfrechnen ein Näherungswert für eine Rechnung ermittelt werden kann. • Runden: eindeutiges Bestimmen eines Näherungswertes für eine Zahl nach fest gelegten Rundungsregeln – vorher festgelegt (z. B. Aufrunden für die Ziffern 5,6,7,8,9; Abrunden für die Ziffern 1,2,3,4) – abgeleitet aus der realen Situation
Fehlerfortpflanzung:	- Bei der Summe von Dezimalzahlen werden nur so viele Stellen nach dem Komma angegeben, wie der ungenaueste Summand aufweist. - In Produkten von Näherungswerten werden nur so viele Dezimalziffern angegeben, wie der ungenaueste Wert aufweist
Größenarten in Klassen 5/6:	Einheiten werden weiter verfeinert/vergröbert – Größenart Flächen mit den Einheiten: mm², cm², dm², m², a , ha , km2 – Volumeneinheiten: mm³, cm³, dm³, m³
Wesentliche Ziele des Arbeitens mit Größen im MU	Entwicklung realer Vorstellungen zu einzelnen Größen, • Erwerb von Kenntnissen über häufig gebrauchte Einheiten, • Befähigung zum Erfassen (Schätzen und Messen) und zum Darstellen von Größen (Tabellen, Diagramme, ...), • Befähigung zum Vergleichen und zum Ordnen von Größenangaben sowie zum Rechnen mit Größenangaben, • Befähigung zum Umwandeln von Größenangaben in Angaben mit einer anderen Maßeinheit, • Befähigung zum Anwenden von Größen beim Sachrechnen (Sachprobleme, Durchschnittsberechnungen, Maßstabsberechnungen, Darstellen, Auswerten, Interpretieren von Größenangaben, u. a. )
Besonderheiten der Größenart Zeitspannen	- Bei Zeitangaben ist zwischen der Angabe von Zeitpunkt und Zeitdauer zu unterscheiden. - – Zeitpunkte sind keine Größen, sondern Skalenwerte auf einem Messgerät. - Die Einheiten zur Größenart Zeitspannen sind nicht dekadisch aufgebaut. Auch die Bezeichnungen für die Einheiten lassen keine Beziehung zwischen den Einheiten erkennen. Z. B. 1,25 min ≠ 1 min 25 s
Besonderheiten der Größenart Geldwerte:	- Geldeinheiten können nicht beliebig klein oder groß gewählt werden. (Bei uns 1 Cent als kleinster Betrag) - Geld hat keine standardisierte Maßeinheiten (von Land zu Land teilweise unterschiedlich) - Spezifische Aktivitäten im täglichen Umgang mit Geld sind das Legen von Geldbeträgen, das Wechseln und das Herausgeben von Restgeld.
Stufenfolge nach Radatz/Schipper zur didaktischen Erarbeitung von Größenarten:	- 1. Erste Erfahrungen in Sach- oder Spielsituationen 2. Direkter Vergleich von Repräsentanten einer Größe 3. Indirekter Vergleich mit Hilfe willkürlicher Maßeinheiten 4. Erkennen der Invarianz einer Größe 5. Indirekter Vergleich mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten 6. Entwicklung einer Vorstellung der standardisierten Einheitsgrößen („Stützpunktwissen“) 7. Messen mit technischen Hilfsmitteln 8. Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten 9. Rechnen mit Größen
Stufenfolge Radatz/Schipper = Längen:	- Zu 1.: Körpergrößenvergleich (ist so groß/hoch/weit/breit/dick wie) - Zu 2.: Körpergrößenvergleich/-sortierung in einer Klasse (Äquivalenz- und Ordnungsrelation gelernt; ebenfalls sollte hier die Transitivität erarbeitet werden (Anna>Peter, Peter>Ulf, Anna>Ulf) - Zu 3.: Schnur oder Stab zum Vergleich zweier Körpergrößen (die nicht direkt verglichen werden können). - Zu 5.: Maßband (Zollstock) zum vergleichenden Messen von Körpergrößen - Zu 6.: Länge eines Fußballfeldes: 100 m – Abstand zwischen Leitpfosten (in Deutschland, entlang einer ebenen, geraden Straße): 50 m – Höhe einer Zimmertür: 2 m – Handspanne: 20 cm
Stufenfolge Radatz/Schipper = Flächen	- Zu 1.: Verschicken von Briefen • Wie muss man einen Briefbogen falten, um ihn in einen Briefumschlag zeu bekommen? Gibt es mehrere Möglichkeiten? • Wie viel kosten verschiedene Brieftypen? - Zu 2.: Vergleich von Fotos, Vergleich von DIN A-xx-Bögen - Zu 3.: Rechenkästchen aus dem Heft, Fotos
Stufenfolge Radatz/Schipper = Flächhen, 6.	Image: Image (binary/octet-stream)
Stufenfolge Radatz/Schipper = Flächhen 8,	Image: Image (binary/octet-stream)
Stufenfolge nach Franke:	- 1. Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln 2. Direktes Vergleichen von Repräsentanten 3. Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbstgewählter Maßeinheiten 4. Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter Maßeinheiten 5. Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der Maßeinheiten 6. Aufbau von Größenvorstellungen 7. Rechnen mit Größen
Projekte:	- Wie groß sind die Pausenhalle, der Pausenhof? - Interview mit Schülern zu der Größe der Pausenbereiche. - Wo liegt Deutschland, welche Länder grenzen an, welche Länder sind größer oder kleiner? - Kann man prinzipiell den Flächeninhalt genau bestimmen? - Flächen der Bundesländer, der großen Städte oder Ähnliches
Stützpunktwissen zu:	Zeitspannen: – Zeitdauer zum Sagen des Wortes „Einundzwanzig“: 1 s – Dauer einer Unterrichtsstunde: 45 min Massen/Gewichte: – Masse einer Tafel Schokolade: 100 g – Masse einer handelsüblichen Packung Mehl oder Zucker: 1 kg – Masse eines großen, mit Kleidern gefüllten Reisekoffers: 20 kg – Masse eines DIN A4-Blattes: 5 g Geschwindigkeiten: – Geschwindigkeit beim Wandern in ebenem Gelände: 4 km/h – Geschwindigkeit beim Wandern im Gebirge: 400 Höhenmeter pro Stunde

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