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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
about 7 years ago
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| Question | Answer |
| Wozu dient der Gaußalgorithmus bzw. was ist das Ziel des Algorithmus? | Dieser dient zum Lösen von Linearen Gleichungssystem (LGS). Das Ziel des Algorithmus ist die Elimination von Variablen, um danach die Lösung ablesen zu können. |
| Wie wird der Gaußalgorithmus noch genannt? | gaußsches Eliminationsverfahren |
| Was hat die die Treppennormalform einer Matrix mit dem Gaußalgorithmus zu tun? | Durch den Gaußalgorithmus kann jede Matrix in eine TNF gebracht werden, so dass danach die Lösung einfacher abgelesen werden kann. |
| Wie funktioniert der Gaußalgorithmus? | - die Pivotposition zu 1 machen (I.d.R. durch Multiplikation) - dann alle Zeilen oberhalb und unterhalb mit den passenden Vielfachen der Pivotzeile addieren bzw. subtrahieren, um die Einträge oberhalb des Pivotelements 0 werden zu lassen. (Elimination) - danach nächste Spalte, ggf. auch mal Zeilen tauschen oder eine Spalte überspringen |
| Was macht man, wenn man beim Anfang des Gaußalgorithmus bei \( a_{11} \) eine 0 hat? | wenn nicht gerade die ganze Spalte 0 ist, entsprechend die Zeilen tauschen.., ist die ganze Spalte 0, dann ist diese bereits per Definition in TNF |
| Wie viele Treppennormalformen gibt es zu einer Matrix? | genau eine. Die TNF ist eindeutig. |
| Wie kann man den Gaußalgorithmus benutzen, um die Inverse einer Matrix zu finden? | Indem man die gleichen elementaren Zeilenumformungen gleichzeitig mit der entsprechenden Einheitsmatrix durchführt. (Gauß-Jordan-Algorithmus) |
| Wie funktioniert der Gauß-Jordan-Algorithmus? | Man schreibt rechts neben seiner Matrix A mit einem Strich getrennt die zugehörige Einheitsmatrix ( A | I_m ) , und führt dann den Gaußalgorithmus durch. Im Ergebnis steht dann rechts die Matrix S |
| Wann haben zwei Matrizen A und B dieselbe Treppennormalform? | Wenn A und B zeilenäquivalent sind. |
| Was ist der Rang einer Matrix Rg(A)? | Die Anzahl von Pivotpositionen in der Treppennormalform = Anzahl von Zeilen, die nicht 0 sind (Anzahl linear unabhängiger Spalten / Zeilen ) |
| Wann sind zwei Vektoren a und b linear unabhängig, wann 3 Vektoren a, b, c? | a und b, wenn sie keine Vielfachen voneinander sind. a != \( \lambda \) * b Bei mehr als zwei darf sich keiner von Ihnen aus den Anderen linear kombinieren lassen ( Summe aus Vielfachen der Anderen) |
| Wann ist eine quadratische Matrix invertierbar? | Wenn die TNF von A die Einheitsmatrix ist oder Rang der Matrix = Zeilenanzahl m oder A ist Produkt von Elementarmatrizen |
| Wie vermeidet man bei beim Gaußalgorithmus, das frühzeitige Entstehen von Brüchen. | Indem man die 1 bei den Pivotpositionen zu Beginn möglichst nur durch Zeilentausch und Zeilenaddition realisiert. |
| Wie stehen der Rang einer Matrix A und der Rang ihrer Transponierten Matrix \( A^T \) zueinander? | Rg (A) = Rg ( \( A^T \) ) |
| Woran erkennt man, dass eine Matrix invertierbar ist? | Wenn sie quadratisch ist und der Rang gleich der Zeilenanzahl. |
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