13.4 Rechnen mit konvergenten Folgen

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Mathematik (Grundlagen KE 4) Flashcards on 13.4 Rechnen mit konvergenten Folgen, created by David Bratschke on 05/19/2017.
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Question Answer
Konvergieren zwei Folgen \((a_n)\) und \( (b_n)\) und gilt fast immer \(a_n ≤ b_n\) dann folgt daraus? dass a ≤ b ist.
Was besagt der Vergleichssatz? Für zwei konvergente Folgen ist der Grenzwert der Folge niedrigerer, bei der "fast alle" Folgenglieder kleiner sind als die der anderen Folge.
Wie nennt man eine Folge die gegen 0 konvergiert? Nullfolge
Was besagt der Einschnürungssatz? Streben zwei Folgen gegen den gleichen Grenzwert und liegen die Folgenglieder einer anderen Folge fast immer zwischen den Folgengliedern dieser Folgen, dann konvergiert auch diese Folge gegen den Grenzwert.
Wie lautet der Einschnürungssatz formal? Streben \( (a_n) \) und \( (b_n) \) gegen a und gilt fast immer \( a_n \leq c_n \leq b_n \) so strebt auch \( (c_n) \) gegen a.
Was besagt der Betragssatz? Konvergiert eine Folge gegen einen Grenzwert, so konvergiert die Folge des Betrages gegen den Betrag dieses Grenzwertes
Was lautet der Betragssatz formal? Konvergiert \( (a_n) \) gegen a, so konvergiert \( (|a_n|)\) gegen |a|
Wenn von dem Produkt zweier konvergenter Folgen eine eine Nullfolge ist, dann folgt daraus..? Dass auch das Produkt eine Nullfolge ist (da ja die andere Folge beschränkt ist)
Welche algebraische Struktur stellt die Menge der reellen Folgen dar? mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation.. ==> Vektorraum
konvergiert \( (a_)\) gegen a und \((b_n)\) gegen b dann konvergiert \(a_n + b_n\) gegen..? a+b
Ergänze: Der Grenzwert einer Summe = ? der Summe der Grenzwerte
\((a_n)\) strebt gegen a und \((b_n)\) strebt gegen b, dann konvergiert \( (a_n b_n) \) gegen? a*b
konvergiert \( (a_n) \) gegen a und sein \( \alpha \epsilon R \) dann konvergiert \( ( \alpha a_n ) \) gegen ? \( \alpha \)a
konvergieren zwei Folgen gegen a und b, wie konvergiert dann die Differenz \( (a_n - b_n) \) dieser Folgen? gegen a - b
Ergänze: Der Grenzwert eines Produktes = dem Produkt der Grenzwerte
konvergieren zwei Folgen gegen a und b, dann konvergiert.. \( \frac{a_n}{b_n} \) gegen..? \( \frac{a}{b} \) wenn b_n ≠ 0 und b ≠ 0
was ist das Problem an der Schreibweise : lim (a + b) = lim a + lim b ? sie impliziert, dass die Grenzwerte von a und b existieren müssen, wenn der Grenzwert für (a + b) existiert. Das ist aber nicht zwingend der Fall. Andersherum schon
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