15.3 Grenzwerte von Funktionen

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Mathematik (Grundlagen KE 5) Flashcards on 15.3 Grenzwerte von Funktionen, created by David Bratschke on 05/06/2017.
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Question Answer
Was ist ein Häufungspunkt einer Menge M \( \epsilon \) R ? eine Zahl a \( \epsilon \) R, für die es mindestens eine Folge \( (a_n) \) aus M gibt, deren Grenzwert diese Zahl a ist.
Wann ist eine Funktion konvergent? wenn für jede Folge aus dem Definitionsbereich, die gegen einen Häufungspunkt a von D konvergiert, die Folge \( (f(a_n))\) konvergent ist.
wie lautet das Konvergenzkriterium für Funktionen kurz und formal? f: D -> R mit: \( \lim\limits_{n \to \infty} (a_n)\) = a ==> \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) existiert. (a Häufungspunkt von D)
sei f: D -> R , die in a \( \epsilon \) D stetig ist und a ein Häufungspunkt von D, dann ist f ...? konvergent in a
Sei f: D -> R und \(a_n\) und \(a'_n\) Folgen aus D , mit Grenzwert a = Häufungspunkt von D, dann folgt ..? Dass auch die Grenzwerte der Funktionswerte der Folgen gleich sind. \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a_n) \) = \( \lim\limits_{n \to \infty} f(a'_n) \)
Was ist der Grenzwert einer Funktion f in a? Der Grenzwert a der Folge der Funktionswerte: \( (f(a_n)) \), wobei (\( a_n\)) eine Folge aus D \ {a} ist.
Wie wird der Grenzwert einer Funktion f in a formal bezeichnet? \( \lim\limits_{ x \to a} f(x) = b \)
Eine Funktion ist stetig an einer Stelle a, genau dann wenn der Grenzwert ...? \( \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) \)
Was ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion? Eine Funktion, die die ursprüngliche Funktion an einer ursprünglich unstetigen Stelle so ergänzt, dass die Funktion dann an dieser Stelle doch stetig ist.
Wann ist eine stetige Fortsetzung einer Funktion an einer unstetigen Stelle möglich? Wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert bei Annäherung an diese Stelle gleich sind.
Nenne ein Beispiel für eine Funktion die stetig fortgesetzt werden kann. \( f(x) = \frac{x^2}{x} \} kann an x = 0 stetig fortgesetzt werden.
Wann besitzt eine Funktion f in a eine hebbare Unstetigkeit? Wenn die Funktion z.B. durch Anpassung des Definitionsbereiches D \ {a} stetig fortgesetzt werden kann.
Wie lautet des Epsilon-Delta-Grenzwert-Kriterium für Funktionen? Sei f : D → R eine Funktion und sei a ein Häufungspunkt von D \ {a}. Dann gilt: Genau dann konvergiert f in a mit lim x→a f(x) = b, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ D \ {a} mit 0 < |x − a| < δ immer |f(x) − b| < ε ist.
Wie lautet das Cauchy'sche Konvergenzprinzip für Funktionen? Sei f : D → R eine Funktion, und sei a ein Häufungspunkt von D. Genau dann existiert lim x→a f(x), wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 so gibt, dass für alle x, y ∈ D \ {a} mit |x − a| < δ und |y − a| < δ stets |f(x) − f(y)| < ε ist.
Was sind die Rechenregeln für Konvergenz von Funktionen? eigentlich die Gleichen wie bei Folgen
Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a } (f+g)(x) \) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x) \)
Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \alpha * f(x) \) ? \( \alpha \lim\limits_{x \to a} f(x) \)
Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \) f * g (x) \( \lim\limits_{x \to a} f(x) * \lim\limits_{x \to a} g(x) \)
Was ist der Grenzwert: \( \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) ? \( \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x) }{\lim\limits_{ x \to a} g(x)} \) , | g(x) <> 0
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