Flashcards
20.2 Zusammenhang zwischen Integral und Differentialrechnung
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- 1Was besagt der 1. Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung?Ist eine Funktion f integrierbar auf [a,b], so ist F(x) = \( \int_a^x f(t) dt \)
und es gilt:
F'(x) = f(x) ,
wenn f(x) stetig in [a,b] - 2Funktionen, die auf einem Intervall [a,b] stetig sind, sind dort auch ..?integrierbar
- 3Was ist das sog. "Unterintegral"?Das Supremum aller Untersummen:
sup{U(f, P) | P Partition von [a, b]} - 4Was ist das sogenannte "Oberintegral"?Das Infimum aller Obersummen:
inf{O(f, P) | P Partition von [a, b]} - 5Was besagt der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?Ist f integrierbar auf [a,b] und g eine Stammfunktion von f:
==> \( \int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a) \) - 6ist g'(x) = f und \( \int_a^b f(x) dx \) = g(b) - g(a) Wie schreibt kann man dann g(b)-g(a) noch schreiben?Als :
\( [g(x)]_a^b \)
bzw.
\( g(x) |_a^b \) - 7Wie funktioniert die partielle Integration?man analysiert, ob man die Funkion als Produkt einer Funktion und einer Ableitung
f(x)g'(x) darstellen kann. Dann bildet man die Differenz:
\( f(x)g(x)|_a^b\) und zieht davon das Integral mit "vertauschten Rollen", also von f'(x) g(x) ab - 8Wie lautet die Formel für die partielle Integration?\( \int_a^b f(x)g'(x) dx = \)
\(f(x)g(x)|_a^b -\int_a^b f'(x)g(x) dx\) - 9Woher lässt sich die Regel für das partielle Integrieren herleiten?Durch Umformung aus der Produktregel der Differentiation
- 10Woher lässt sich die Substitutionsregel der Integration herleiten?Aus der Kettenregel der Integration
- 11Wie lautet die Substitutionsregel?\( \int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \)
- 12Wann kann man die Substitutionsregel der Integration anwenden?Bei verketteten Funktionen, bei denen noch ein Faktor "anhängt", der die Ableitung der inneren Funktion ist.
- 13Wenn man g'(x) als dg(x) schreibt, wie lässt sich dann die Substitutionsregel darstellen? Was ist der Vorteil daran?als:
\( \int_a^b f(g(x))dg(x) = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du \)
ist leichter zu merken..:
einfach g(x) durch u, a durch g(a) und b durch g(b) ersetzen - 14Was ist der Flächeninhalt des Einheitskreises? Wie lässt sich das durch Integrale beweisen?Pi,
Indem man die Kreisformel
\( x^2 + y^2 = 1 \) zu einer Funktion umformt, die einen Halbkreis oberhalb der x-Achse beschreibt:
\( \sqrt{(1-x^2)} \) und dann den Flächeninhalt durch Integration ausrechnet
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- Mathematik (Grundlagen KE 7) Flashcards on 20.2 Zusammenhang zwischen Integral und Differentialrechnung, created by David Bratschke on 27/06/2017.
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