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Fecha: 20/09/2024

Distribuciones

Omega= (a,b) subconjunto de R

P(Omega) = { Phi: Omega -> R / Phi , supp(Phi) subconjunto de Omega y compacto}

Def Una distribucion es una funcion T: D(Omega) -> R que tiene las siguientes dos propiedades:

1. T es lineal: T(alpha Phi + Beta y) = alpha T(phi) + beta (y), Para todo phi y y perteneciente a D(Omega), Para todo alpha, beta pertenece a R

2. T es continua

Si Phi_n -> Phi entera T(Phi_n) -> T (Phi)

(Si

...

- Delta de Dirac

Sea x_0 pertenece a Omega. Definamos Delta_(x_o) : D(Omega) -> R, Delta_(x_0) (phi) = phi (x_0)

Veamos quel Delta de Dirac es una distribucion

1. phi_(x_0) (alpha hi + beta y ) = (alpha phi + beta y ) (x_0) = alpha phi (x_0) + beta y (x_0) = alpha delta_(x_0) (phi) + beta delta_(x_0) (y)

2. Supongamos que phi_n converge con D(-> con D) aphi. Queremos ver delta_(x_0) (phi_n) converge a delta_(x_0) (phi), es decir que phi_n(x_0) converge a phi(x_0)

Como phi_n converge uniformemente a phi, phi_n converge puntualmente a phi. Implica phi_n (x_0) converge a phi (x_0)

Derivada de distribuciones

Motivacion:

Sea f: Omega (subconjunto de R) converge a R de clase C1 es decir