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Desarollo del concepto de continuidad.

MATEMÁTICA GRIEGA

En la matemática griega existe ya una cierta idea de continuidad; tenían una noción de continuidad en sentido intuitivo, pero no se trataba de la continuidad de funciones, puesto que no existía este concepto.

Nicole de Oresme (1323-1382)

Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo. En su idea primitiva de representación gráfica de funciones, Oresme dibuja una gráfica velocidad-tiempo que es continua. La continuidad aparece como una propiedad global de las magnitudes medibles.

SIGLO XVII

En este siglo se produce la aritmetización de la geometría, lo que va a influir en la idea de continuidad. Como señala El Bouazzoui (1988) durante este periodo se pasa de la concepción geométrica intuitiva de la noción de función a una concepción algebraica gracias a los trabajos de Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665). Las funciones se representan por fórmulas analíticas y la mayor parte de ellas corresponden a trayectorias de un móvil.

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SIGLO XVIII

Se desarrolla el concepto de función. Con Euler (1707-1783) la idea de continuidad va ligada a este concepto. En el capítulo primero de su Introductio in analysis infinitorum comienza definiendo las nociones iniciales: términos constantes y variable. Define una función como:

SIGLO XIX

Lagrange (1736-1813) escribió dos grandes tratados sobre funciones: Teoría de las funciones analíticas y Lecciones sobre el Cálculo de las funciones. Da una nueva definición de función, más rica que la de Euler: "Llamamos función de una o varias cantidades a toda expresión de cálculo en la cual estas cantidades entran de cualquier manera, mezcladas o no, con otras cantidades que consideramos como valores dados e invariables, mientras que las cantidades de la función pueden recibir todos los valores posibles. Así, en las funciones no consideramos más que las cantidades que suponemos variables, sin ninguna consideración a las constantes que pueden estar mezcladas".

Es bien conocido que a lo largo del siglo XIX el concepto de función evoluciona considerablemente. Esto influye en el concepto de continuidad. Será Bolzano (1781-1848) el primero en dar una definición de continuidad desligada de las consideraciones geométricas, espaciales y temporales de sus predecesores.

En 1821, Cauchy da su definición de continuidad: La función f(x) es continua con respecto a x entre los límites dados si, entre estos límites un crecimiento infinitamente pequeño de la variable, produce también un crecimiento infinitamente pequeño de la función misma.

SIGLO XX

Con los trabajos de Cantor (1845-1918) y Dedekind (1831-1916) comienza el gran desarrollo de la topología, correspondiendo a Hausdorff (1868-1942) la noción de espacio topológico y a Fréchet (1878-1973) la de espacio métrico. Hausdorff definirá el concepto de continuidad de la siguiente manera:

Con la definición de Hausdorff desaparece la idea intuitiva geométrica de continuidad; la continuidad o no de una función dependerá de las topologías del dominio de la función y del espacio imagen.

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Monroy Fabila Aislinn Itzel 5° "4" 19/10/17

REFRENCIA: Gonzáles María; López Carmen. (2015). Los conceptos de límite y continuidad en la educación secundaria: transposición didáctica y concepciones del alumno. 14 de octubre de 2017, de ResearchGate Sitio web: https://www.researchgate.net/publication/39131495_Los_conceptos_de_limite_y_continuidad_en_la_Educacion_Secundaria_transposicion_didactica_y_concepciones_de_los_alumnos

EDAD MEDIA

Según señala Boyer (1986) los pitagóricos habían supuesto que el espacio y el tiempo pueden ser imaginados como constituidos por puntos e instantes, pero tanto el espacio como el tiempo tienen también otra propiedad, que es más fácil de intuir que definir conocida como continuidad.

Con Descartes, la noción de continuidad toma un carácter geométrico ligado a las curvas. Con Newton (1643-1727) la noción de continuidadmcontinúa siendo geométrica y está ligada al tiempo. Con Leibniz (1646-

1716) la continuidad toma un carácter espacial.

Una expresión analítica formada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades constantes.

Definió así el concepto de función continua sobre un intervalo:

"Decir que una función real f de la variable real x es continua, para todos los valores de x pertenecientes a un intervalo dado, no significa otra cosa que esto: si x es un tal valor cualquiera, la diferencia f (x-w) – f (x) se hace más pequeña que cualquier cantidad dada si se toma w tan pequeña como queramos".

Con Weierstrass (1815-1897) se produce la “aritmetización” del Análisis. Por lo que se refiere a las funciones continuas es el primero en dar a conocer un ejemplo de una función continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno de ellos

Una transformación continua significa que a cada punto del primer espacio hay asociado un único punto del segundo espacio y que dado un entorno de una imagen de un punto existe un entorno del punto origen (o de cada punto origen si hay varios) cuya imagen está contenida en el entorno de dicho punto imagen.