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DERIVADAS

la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis matemático. Los otros son los de integral definida e indefinida,sucesión; sobre todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de derivada y para la integral de Riemann

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

Límite como cociente de diferencias

La derivada de una función f es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de f en x. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x)).

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h relativamente pequeño. h representa un cambio relativamente pequeño en x, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) es :

Continuidad y diferenciabilidad

Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función, de manera que

Haciendo estos incrementos cada vez más pequeños, las variaciones se hacen más pequeñas; cuando estos se aproximan a cero, en el límite,

con lo que se obtiene, f(x)=y. Para un punto particular a, quiere decir que lim x af(x)=f(a), y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

Reglas usuales de derivación

Regla de la constante: si f(x) es constante, entonces:

Regla de la suma::

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función.

Regla del producto:

para toda función f y g. Por extensión, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función

Regla del cociente:

para toda función f y g para todos aquellos valores tales que g ≠ 0.

Regla de la cadena

Si f(x)=h(g(x)), siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces3​