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HIPÉRBOLA

Introducción

• Ustedes ya conocen a las hipérbolas como la representación gráfica de funciones homográficas. El ejemplo más sencillo es la gráfica de la función \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\):
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Definición de hipérbola

• Dados dos puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
• \[\mathcal{H} = \left\{ {P\left( {x,y} \right)|\;\;\left| {d\left( {P;{F_1}} \right) – d\left( {P;{F_2}} \right)} \right| = 2a = cte} \right\}\]
• Si la distancia entre los focos es \(d\left( {{F_1},{F_2}} \right) = 2c\) , la condición para que sea una hipérbola es:
• \[c > a > 0\]
• \[{c^2} > {a^2}\]
• \[{c^2} – {a^2} = {b^2}\]
• \[ \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2}\]
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Ecuación canónica de la hipérbola

• Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:
• \[\;\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]
• Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en \(\left( {0,0} \right)\) y eje focal \(y = 0\) (eje \(x\))
• Busquemos las intersecciones con los ejes:
• \[y = 0\; \Rightarrow \;\left| x \right| = a \Rightarrow \;x = \pm a\; \Rightarrow {V_{1,2}} = \left( { \pm a,0} \right)\]
• \[x = 0\;\; \Rightarrow {y^2} = – {b^2}\]
• Entonces no corta al eje \(y\).
• Los puntos \({V_{1,2}}\) se denominan vértices de la hipérbola.

Folie 5

• Ecuación canónica de la Hipérbola | Centro en (0,0) (Einbetten)

Folie 6

• Pasar de la ecuación canónica a la general de la Hipérbola | Ejemplo 1 (Einbetten)

Elementos de la hipérbola

• Los elementos de la hipérbola son:
• Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).
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Folie 8

• Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
• Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal
• Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la
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Folie 9

• hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
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Folie 10

• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).
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Folie 11

• Gráfica de la Hipérbola dada su ecuación general | Ejemplo 1 (Einbetten)

Hipérbola equilátera

• La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
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Relación entre semiejes de la hipérbola

• Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
• Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
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Construcción de la hipérbola por puntos

• Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a) y la distancia focal (F1F2=2c).
• Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V1 y V2 y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
• Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P1, P2, P3, P4.
• Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P1V1 y r’=P1V2.
• Con esos radios y centros en los dos focos F1 y F2 trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
• Repetimos el proceso con P2, P3 y P4.
• Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
• Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a, que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definición de la hipérbola.
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