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Álgebra lineal

Vectores

Definición algebraica de vector. Un vector v en el plano coordenado, es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector v.

Los vectores se pueden usar para encontrar un avión, barco, auto, etc.

También se puede utilizar vectores si deseas conocer la sombra que proyecta un poste en el piso a cierta hora del día, sólo debe saber la posición del sol respecto al poste a la hora requerida, con eso sacas el ángulo de este respecto al sol y puedes calcular su proyección.

Los vectores poseen ciertas propiedades que permiten sumarlos, restarlos y multiplicarlos; sin estas propiedades prácticamente serian inservibles, ya que se utilizarían únicamente como la representación de un problema sin mayor uso que eso.

Matrices

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

El estudio de matrices es muy importante dentro de la vida cotidiana; constantemente las utilizan sin darse cuenta de ello. Por ejemplo, una boleta de calificaciones es una matriz con los datos acomodados en filas y columnas, la lista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de vacunación, etc.,

Las operaciones de renglones de matrices se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones.

Ya sea mediante suma, resta, multiplicación o cambio de renglones.

Matriz principal

Matriz ampliada

Eliminación de Gauss

El método de eliminación de Gauss es el método más básico y simple que se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales. las soluciones del sistema de ecuaciones del cual procede la matriz por un método más simple; este puede ser el de inspección.

Método de Gauss-Jordan

Es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

Usos de los métodos

Ejemplos de esto a nivel científico y técnico son la programación lineal, el análisis estructural o el procesamiento digital de señales. Los sistemas de ecuaciones son muy útiles en geometría. Un conjunto de ecuaciones de rectas y planos puede resolverse mediante el método de Gauss para calcular sus posiciones relativas en el plano o el espacio.

Un ejemplo de esto es analizar el flujo de tráfico en una red de calles que se cruzan unas con otras. Conociendo el porcentaje de coches que suelen pasar de una calle a otra en cada intersección, se puede montar un sistema de ecuaciones lineales que, siendo resuelto mediante el método de Gauss, permite hacer un cálculo de la cantidad de tráfico que va a soportar cada calle y tomar las medidas oportunas (temporización de los semáforos, colocación de pasos de cebra o señales de stop).

Determinantes en la vida cotidiana

El diseño asistido por computador (CAD) le ahorra a la Ford Motor Company millones de dólares cada año. Adoptados por primera vez por Ford a principios de 1970, CAD y CAM (fabricación asistida por computador) han revolucionado la industria automovilística. Hoy día, los gráficos por computador constituyen el corazón, y el álgebra lineal el alma del diseño moderno de automóviles.

Un grupo de ingenieros de varias áreas está analizando cinco compuestos que forman tres tipos de fertilizantes básicos I, II y III. Las cantidades se miden en gramos. Pueden obtenerse fertilizantes especiales resolviendo combinaciones de los tres tipos básicos. Es decir, los fertilizantes especiales pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan los fertilizantes básicos. El objetivo del estudio es crear nuevos fertilizantes que dañen menos el ambiente y el suelo.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es uno de los métodos más sencillos que se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones lineales y se utiliza por medio de las matrices y sus determinantes. Además, relaciona la solución de los sistemas de ecuaciones lineales con el determinante de la matriz asociada a dicho sistema

Menor

Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.

Cofactor

Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1)i+k y se denota Aik, ​​​​​.