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LOS NUMEROS REALES

Números Enteros

N= {1, 2, 3, 4, . . .}

Números Naturales

Z= {. . . ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Números Racionales

Q= {r = m/n} Donde m y n son enteros y no son iguales a 0

Números Irracionales

Son aquello que no se pueden expresar como una razón entre enteros. Son los números que no son racionales

Propiedades

Conmutativa

Distributiva

Asociativa

Tipos de números que Conforman el sistema de números reales.

Cuando sumamos o multiplicamos dos números, el orden no importa.

Ejemplos: (1/2) (-3/7) (5/2)

Ejemplos: (Ra​​​ìz de 3) (Pi) (Raíz cubica de 2)

En expresion algebraica:

A + B = B + A

A B = B A

Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de ellos sumamos y multiplicamos primero.

En expresion algebraica:

(A+B)+C = A+(B+C)

(AB)C =A(BC)

Cuando multiplicamos un número por una suma de dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y luego sumamos los resultados.

En expresion algebraica:

A(B+C) = AB+AC

(B+C)A = AB+AC

Adición y sustracción

A - B = A + (-B)

Para combinar números reales con números negativos, usamos las siguientes propiedades.

° (-1)A = -A

° -(-A) = A

° (-A)(-B) = A(-B) = -(AB)

° (-A)(-B) = AB

° -(A+B) = -A -B

° -(A-B) = B-A

° (-1)5 = -5

° -(-5) = 5

° (-5)(-7) = 5(-7) = -(5.7)

° (-4)(-3) = 4.3

° -(3+5) = -3 -5

° -(5-8) = 8-5

Multiplicación y división

A/B = A.1/B

Para combinar números reales usando la operación de división, usamos las siguientes propiedades.

° A/B.C/D = AC/BD

° A/B / C/D = A/B.D/C

° A/C+B/C = A+B/C

° A/B + C/D = AD+BC/BD

° AC/BC = A/B

° SI A/B = C/D Entones AD = BC

° 2/3 . 5/7 = 2.5 / 3.7 = 10/21

° 2/3 / 5/7 = 2/3.7/5 = 14/15

° 2/5 + 7/5 = 2+7/5 = 9/5

° 2/5 + 3/7 = 2.7+3.5/35 = 29/35

° 2.5/3.5 = 2/3

° SI 2/3 = 6/9 Entones 2.9 = 3.6

Uso del MCD para sumar fracciones

Encontramos el mínimo común denominador (MCD) al formar el producto de todos los factores presentes en estas factorizaciones, usando la máxima potencia de cada factor.

Ejemplo:

5/36 + 7/120

36 = 2^2 . 3^2 y 120 = 2^3 . 5

Entonces el MCD es 2^3 . 3^2 . 5 = 360. Entonces

5/36 + 7/120 = 5.10/36.10 + 7.3/120.3 = 50/360 + 21/360 = 71/360

La recta real

Los números reales pueden ser representados por puntos sobre una recta

Conjuntos

El conjunto de los numeros reales esta formado por los racionales y los irracionales. Se nota R = {Q ∪ I}

Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación A ∈ S significa que A es un elemento de S, y B ∉ S quiere decir que B no es un elemento de S.

Operaciones entre conjuntos

Unión de conjuntos

Intersección entre conjuntos

Diferencia entre conjuntos

Complemento

Producto cartesiano

Diferencia simétrica entre conjuntos

Sea A y B conjuntos. La unión entre A y B define otro conjunto cuyos elementos están en A o están en B.

A ∪ B =

{X : X ∈ A o X ∈ B}

Sean A y B conjuntos. La intersección entre A y B define otro conjunto cuyos elementos están en A y están en B.

A ∩ B {X : X ∈ A y X ∈ B}

Sean A y B conjuntos. La diferencia entre A Y B define otro conjunto cuyos elementos están en A pero no están en B.

A – B = A / B =

{X: X ∈ A y X ∉ B}

Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica entre A y B define otro conjunto cuyos elementos están en A ∪ B, pero no están en A ∩ B.

A Δ B = {X : X ∈ A ∪ B y X ∉ A ∩ B}

Sea A un conjunto. El complemento de A es otro conjunto cuyos elementos no están en A.

A' = A^c = {X : X ∉ A}

Sean A y B conjuntos, Definimos el producto cartesiano de A y B como el conjunto.

R X R = A X B

A= {a, e, i}

B= {z, t}

A X B = {(a, z), (a, t), (e, z), (e, t), (i, z), (i, t)}

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

° A ∪ B = B ∪ A

° A ∩ B = B ∩ A

° A Δ B = B Δ A

° A ∪ ∅ = A

° A ∩ ∅ = ∅

° A ∪ Ω = Ω

° A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B

° ∅ ⊆ B, B ⊆ B

° (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

° A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

° A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

° (A^c) ^c = A

° A ⊆ B = B^c ⊆ A^c

° (A ∪ B) ^c = A^c ∩ B^c

° A Δ ∅ = A

° A Δ A = ∅

° Si A ⊆ B ⇒ A Δ B = B - A

° A – B = ∅ ⇔ A ⊆ B

Cardinales

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, en el caso de los conjuntos finitos los elementos pueden ser contados, el número de elementos de un conjunto finito es si cardinalidad.

/A/ = #A = Card(A)

A= {a, b, c, d}

/A/ = 4 /P(A)/ = 16 =2^4

B= {a, b]

/B/ = 2 /P(A)/ = 4 =2^2

Propiedades de los cardinales

° Si A = B ⇒ /A/ = /B/

° Si A ⊆ B ⇒ /A/ ≤ /B/

° /A – B/ = /A/ - /A ∩ B/

° /A ∪ B/ = /A/ + /B/ - /A ∩ B/