Vectores

Vectores

Se trata de segmentos de rectas que se forman a partir de un

determinado punto en el espacio y que poseen cierta dirección,

magnitud y sentido.

Propiedades

Propiedades de la suma y resta de vectores

Propiedades de los vectores para la multiplicación

Otras propiedades de los vectores

Origen

También se le conoce como punto de aplicación. Se trata del punto con exactitud en donde el vector llega a actuar.​​​​

Dirección

Representa la orientación en el espacio de la recta que lo posee.

Módulo

Representa el tamaño o la longitud del vector. Para calcularlo se ha de tener el conocimiento sobre el origen o su punto de aplicación y del extremo del vector, luego se deberá de medir este origen hasta su extremo.

Sentido

Este llega a indicar a través de una punta de flecha que se coloca en el extremo del vector, la dirección hacia donde el vector se dirige con relación a la línea de acción.

Propiedad conmutativa

Propiedad asociativa

Propiedad distributiva

Propiedad de identidad

Establece que el resultado al multiplicar un vector a por 1 siempre dará el mismo vector a. Ejemplo: 1 (a) = a.

Indica que el producto al multiplicar un vector por la suma de dos vectores que entren entre paréntesis, será lo mismo que multiplicar dicho vector por cada uno de los vectores que se estén sumando, y luego realizar la adición. Ejemplo: c (a +b) = ca + cb.​​​​

Indica que el resultado al multiplicar los vectores a y b por el vector c, siempre será igual que la multiplicación del vector a por el producto entre el vector b y c. También da el mismo producto si se multiplica el vector b por el producto entre los vectores a y c. Ejemplo: (ab) c = a (bc) = b (ac).

Es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean a y b dos vectores cualesquiera entonces, a+b=b+a

La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa. Ya que: a-b≠ b-a

Propiedad de identidad

Esta propiedad establece que la suma de todo vector con 0 siempre dará el vector original. Por ejemplo a + 0 = a.

También indica que la suma de un vector por su opuesto dará como resultado 0. Ejemplo: a + (-a) = 0.

Propiedad asociativa

Es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la suma. Sean a yb dos vectores cualesquiera entonces, a+(b+c)=(a+b)+c.​​​​

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Si tenemos dos vectores y , entonces la suma de u y v es

En otras palabras, el vector suma de u y v es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de u se suma con la primera componente de v, y la segunda componente de u se suma con la segunda componente de v.

Resta de vectores

La resta de dos vectores u y v simplemente es la suma de u con -v.

De este modo, si consideramos los componentes de u y v, entonces la resta está dada por

Multiplicación de vectores

Producto escalar o producto punto

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

A ⋅ B = |A| |B| cos θ.

Producto vectorial o producto cruz

El producto cruz de dos vectores en el espacio tridimensional se define como el vector perpendicular al plano determinado por los dos vectores cuya magnitud es el producto de las magnitudes de los dos vectores y el seno del ángulo entre los dos vectores. A × B = |A| |B| sin θ

Base vectorial

Dos vectores u y v con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.