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Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

Vectores
1. Expresión algebraica de un vector
  1. Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b).
    1. Los números a y b se conocen como las componentes del vector v.
2. Norma
  1. Es la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan al vector.
3. Ángulos directores
  1. Se llaman ángulos directores a los cosenos de los ángulos que la misma forma con las direcciones positivas de los ejes x, y, z respectivamente (ángulos directores).
4. Vectores Unitarios
  1. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1
    1. Puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje.
5. Propiedades de los vectores
  1. Propiedad conmutativa
    1. Es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma.
      1. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A.
  2. Propiedad asociativa
    1. Es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma).
      1. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C).
  3. Propiedad distributiva
    1. Es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma.
      1. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB.
  4. Propiedad del inverso aditivo
    1. Es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero.
      1. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0
  5. Otras propiedades de los vectores
    1. Origen
      1. También conocido como punto de aplicación. Se trata del punto con exactitud en donde el vector llega a actuar.
    2. Dirección
      1. Representa la orientación en el espacio de la recta que lo posee.
    3. Módulo
      1. Representa el tamaño o la longitud del vector.
    4. Sentido
      1. Este llega a indicar la dirección hacia donde el vector se dirige con relación a la línea de acción.
6. Operaciones básicas con vectores
  1. Suma de vectores
    1. Es la unión de vectores a través de juntar la parte delantera de un vector con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa
      1. El resultado de esta unión será la suma del vector p y del vector r, indicada por el vector de color negro p + r. Tal que
    2. La operación de suma de dos o más vectores da como resultado otro vector.
  2. Resta de vectores
    1. La operación de resta de dos o más vectores da como resultado otro vector.
      1. Está dada por:
  3. Producto de vector por escalar
    1. El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero.
7. Vectores base
  1. Cualesquiera vectores elegidos cuya combinación lineal es capaz de representar a cualquier vector en un sistema dado.
  2. Base vectorial
    1. Dos vectores u y v con distinta dirección forman una base,
      1. Las coordenadas del vector respecto a la base son:
      2. Porque cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos.
8. Producto Punto
  1. Es una operación que da como resultado un número real.
    1. Una forma de definir esta operación es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.
      1. esto es
9. Producto cruz
  1. El producto vectorial u X v de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores
    1. Su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
      1. Su módulo es igual
  2. El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Matrices
1. ¿Qué es?
  1. Son todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
    1. Una matriz A de m filas y n columnas podemos denotarla como
2. Tipos de matrices
  1. Matriz fila
    1. Una matriz fila está constituida por una sola fila.
  2. Matriz rectangular
    1. La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.
      1. Siendo m el numero de filas y n el numero de columnas.
  3. Matriz columna
    1. La matriz columna tiene una sola columna.
  4. Matriz traspuesta
    1. Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
      1. La matriz transpuesta cumple las siguientes propiedades:
  5. Matriz nula
    1. En una matriz nula todos los elementos son ceros.
  6. Matriz cuadrada
    1. La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas, siendo su dimensión n x n
    2. Tipos de matrices cuadradas
      1. Matriz triangular superior
        En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
      2. Matriz triangular inferior
        En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
      3. Matriz diagonal
        En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
      4. Matriz escalar
        Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
      5. Matriz identidad o unidad
        Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
      6. Matriz regular
        Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
      7. Matriz singular
        Una matriz singular no tiene matriz inversa.
      8. Matriz idempotente
        Una matriz, A, es idempotente si:
        A² = A
        Es decir, las potencias de una matriz idempotente, siempre darán como resultado la misma matriz
      9. Matriz involutiva
        Una matriz, A, es involutiva si:
        A 2 = I.
      10. Matriz simétrica
        Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
        Una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales.
      11. Matriz antisimétrica o hemisimétrica
        Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
        Matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales pero con distinto signo).
        (Los elementos de la diagonal principal deben ser cero)
      12. Matriz ortogonal
        Una matriz es ortogonal si verifica que:
      13. Matrices normales
        Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA.
        Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal
      14. Matrices escalonadas
        Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo mas que en la fila (o columna) anterior
        Es una matriz escalonada por filas
        Es una matriz escalonada por columnas
      15. Matrices escalares
        Una matriz es escalar si es diagonal y además todos los elementos de la diagonal son iguales
        es una matriz escalar
3. Operaciones con matrices
  1. Sumas y restas
    1. La unión de dos o más matrices solo puede hacerse si dichas matrices tienen la misma dimensión.
  2. Multiplicación
    1. La multiplicación de matrices cumple la propiedad no conmutativa, es decir, importa el orden de los elementos durante la multiplicación.
  3. División
    1. La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.
      1. También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.
        Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.
4. Operaciones elementales sobre matrices
  1. Son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices
    1. Se utilizan en el método de Gauss para darle a una matriz el aspecto triangular o escalonado.
  2. A las operaciones elementales de las filas pertenecen:
    1. Transposición entre dos filas cualquieras de una matriz.
    2. Multiplicación de cualquier fila de una matriz por una constante no nula.
    3. Adición a cualquier fila de una matriz otra fila multiplicada por un número no nulo.
    4. Analógicamente se determinan las operaciones elementales de las columnas.
5. Matriz traspuesta
  1. Es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.
  2. Propiedades de la matriz traspuesta
    1. Dada la matriz Z anterior,
      1. La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
      2. La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.
      3. El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta.
      4. El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de matrices traspuestas.
6. Matriz inversa
  1. Producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
    1. Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:
      1. El método de Gauss
      2. El método por cálculo de determinantes.
  2. Propiedades de la matriz inversa
Determinantes
1. Determinantes n x n
  1. El determinante de una matriz A de n x n es la suma de los productos de los elementos del primer renglón por sus cofactores
    1. A estas ecuaciones se les llama expansión por cofactores de |A|
2. Propiedades de los determinantes
  1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^{t} son iguales
  2. 1. Posee dos filas (o columnas) iguales.
    2. Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.
    3. Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.
  3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
  4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.
  5. Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.
  6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.
  7. Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos,
    1. dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.
  8. 1. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
3. ¿Qué es?
  1. Es el valor de la suma de determinados productos que se realizan con los elementos que componen la matriz.

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