Mapa Conceptual Espacios Vectoriales

Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos

Espacios Vectorilaes

En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales

Propiedades

Propiedades de la Suma de Vectores

1.- Asociativa

Esta propiedad establece que “Cuando se suman tres o más vectores, el resultado de la suma siempre es el mismo sin importar el agrupamiento”.

2.- Conmutativa

Esta propiedad establece que “El orden de los sumandos no altera el resultado”

3.- Elemento opuesto

Esta propiedad establece que ” Para cualquier vector u existe un vector -u, que sumados dan como resultado el vector cerom eslte vector se denomina vector opuesto y es único para el vector u”.

4.- Elemento neutro

Esta propiedad establece que ” Existe un vector que actúa como elemento nulo, cuando cualquier vector se suma con él, el resultado es el mismo vector original”.

Propiedades de la Multiplicación por un Escalar

Digamos que A y B son matrices m × n . Digamos que O m × n es la matriz cero m × n y digamos que p y q son escalares.

Propiedad asociativa

p ( qA ) = ( pq ) A

Propiedad de cierre

pA es una matriz m × n .

Propiedad conmutativa

pA = Ap

Propiedad distributiva

( p + q ) A = pA + qA

p(A + B) = pA + pB

Propiedad identidad

1 · A = A

Propiedad multiplicativa de –1 (–1) A = –A

Propiedad multiplicativa de 0

0 · A = O m × n

Ejemplos

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades (en lo que sigue, "u", "v" y "w" son vectores y "t" y "s" son números:

propiedad asociativa, (u + v) + w = u + (v + w)

existencia de elemento neutro, que es el vector nulo (0,0,0),

para cada vector u(x,y,z) existencia de su elemento opuesto -u(-x,-y,-z)

propiedad conmutativa, u + v = v + u

Combinación lineal de vectores y espacio generado por un conjunto de vectores.

es el cuerpo sobre el cual está definido V. En términos menos formales, el espacio generado a partir de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales que pueden formarse con los vectores de A. Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V que contiene al conjunto A.

Independencia lineal de vectores

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Base y dimensión de un espacio vectorial.

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Matriz

Rango

El rango de una matriz es el mayor de los órdenes de los menores no nulos que podemos encontrar en la matriz. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. También se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente inde- pendientes.

Nulidad

La dimensión del espacio nulo de A, se denomina Nulidad de una Matriz y se denota por nulidad(A). Si A es una matriz cuadrada de orden n: Rango (A) = número de variables principales que hay en la solución del sistema A.X = 0. Nulidad(A) = números de parámetros que hay en la solución de A.X= 0.

Espacio Renglon y Espacio Columna

Una matriz A por s´ı misma puede generar dos espacios vectoriales: el primero se forma por combinaciones lineales de los renglones, y el segundo al considerar en las combinaciones las columnas. Dichos espacios se conocen como espacio rengl´on