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Espacios Vectoriales

es

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores

se compone

en varias propiedades

sub espacios vectoriales

axiomas

campos

bases

son

propiedad de la suma

propiedade producto de un vector

otras propiedades de los vectores en el espacio

se define

Asociativa : ( U+V)+ W = U +V(V+W)

Conmutativa : V + U = U + V

Existe un elemeneto neutro, el vector 0, tal que + v= v para cualquier vector v. para cada vector v existe un elemento opuesto, -v , que sumando con el da 0

se define

Asociativa: B (av) = (Ba) v

. Distributivas:

Respecto de la suma de escalares: (a +B) v = av+Bv

Respecto de la suma de vectores: a (u + v) = au + v

Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1 v=v para cualquier vector v

se define

Si a v= 0 (escalar, v vector) entonces o bien es =0 o bien es v=. Kaa0

es

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o simplemente un subespacio de V, es un subconjunto no vacío W de V cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de V. En otras palabras, W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes dos propiedades:

sus propiedades son

(Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera u y v elementos de W, se cumple que u+v está en W.

(Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar c en F y vector v en W se cumple que cv está en W.

se define

Cerradura bajo la suma.

Ley asociativa de la suma de vectores.

Vector 0 o idéntico aditivo Inverso aditivo.

Ley conmutativa de la suma

de vectores.

Cerradura bajo la multiplicación por un escalar. Primera ley distributiva.

Ley a ciativa de la

multiplicación por escalares.

se define

Sea K C. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes condiciones

sus propiedad son

escalares

polinomios

se define

se define

La suma es una operación cerrada. Asociatividad de la mano. Conmutación de la suma. Existencia del neutro aditivo. Existencia del inverso aditivo.

La multiplicación es una operación

cerrada.

Asociatividad de la multiplicación. Conmutatividad del producto. Existencia del neutro

multiplicativo o identidad multiplicativa.

Existencia del inverso multiplicativo. Distributividad del producto respecto a la suma,

p(x) = a0 +a1x+···+anxn donde n∈K para todo j=0,1,...,n. Los ak son los coeficientes del polinomio p(x). Si an=/0, se dice que p(x) es de grado n y se escribe grad(p(x))=n. En tal caso a an se le

llama el coeficiente principal de p(x); en particular, si an = 1, se dice que el polinomio es

mónico. Si en p(x) los coeficientes ak, k = 1,..., n, son nulos, se dice que p(x) es un polinomio constante. El grado del polinomio constante θ(x)=0 se considera indefinido. Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K, se le denota por el símbolo K[x]. A

la literal x se le dice indeterminada o variable.

es

Un conjunto finito de vectores {v1,v2,...,vn} es una base para un espacio vectorial V si

i) {v1,v2, . . . ,vn} es linealmente independiente.

ii) {v1, v2,...,vn} genera a V.

el teorema es

Si {v1,v2,...,vn} es una base para V y si v ∈ V, entonces existe un conjunto único de

escalares c1,c2, . . . , cn tales que v=c1v1+c2v2+...+cnvn. Si {u1,u2,...,um} y {v1,v2,...,vn} son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de

vectores.