FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

1. Se define como

   • Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales.Si a cada par ordenado (x,y) de D le corresponde un único número real f(x,y),entonces se dice que f es una funcion de x y y. El conjunto D es el dominio de f,y el correpondiente conjunto de valores f(x,y) es el rango de f
     • Ejemplos de variables
       • FUNCIÓN DE 3 VARIABLES: w=f(x,y,z)=x+2y-3z donde existen tres variables independientes
         • Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable
           • 1.(f ± g)(x, y) = f(x, y) ± g(x, y) (Suma o diferencia).
           • 2.(f · g)(x, y) = f(x, y) · g(x, y) (Producto).
           • 4.Si f(x, y), g(z) y Rango(f) ⊂ Dom(g) (g ◦ f)(x, y) = g(f(x, y)) (Función compuesta).
           • 3.(f /g)(x, y) = f(x,y) g(x,y) si g(x, y) 6= 0 (Cociente).
             • Gráfica de funciones reales de varias variables
               • se define como
                 • La gráfica de una función de dos variables f(x, y) es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que z = f(x, y) para (x, y) ∈ Dom(f). La gráfica de f(x, y) es una superficie en el espacio.
               • ROTACIONAL
                 • Es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones.
                   • Si una función vectorial en tres dimensiones v (x,y,z)tiene como componentes a v1(x,y,z),v2(x,y,z) y v3(x,y,z) el rotacional se calcula :
               • DIVERGENCIA
                 • Es un operador que toma una función vectorial que define a este campo vectorial y arroja como valor de salida una función escalar que mide el cambio de la densidad del fluido en cada punto.
                   • Interpreta un campo vectorial como si representara el movimiento de un fluido.
                     • Formula de divergencia
                       • • La divergencia se usa para todo tipo de contextos que pueden tener nada en común con fluidos. La electrodinámica es uno de ellos.
               • GRADIENTE
                 • El gradiente de una función escalar multivariable f(x,y,..) denotado como f∇,empaqueta toda la información de sus derivadas parciales de un vector:
                   • • Esto significa que f∇, es una función vectorial.
                     • Ejemplo:Si te imaginas que estás parado en un punto(x0,y0..)en el espacio de entrada de f,el vector(∇f(x0,y0 …) te dice en qué dirección te tienes que mover para incrementar el valor de f lo más rápido posible.
               • VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES
                 • Una función z= f(x,y) tiene un máximo (mínimo) en un punto P(Xo,Yo) si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. Si una función diferenciable z= f(x,y) alcanza un extremo en el punto P(Xo,Yo) entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero.
                   • Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.
                     • PASOS: 1. Se halla la primera derivada de f (x) 2. Se halla la segunda derivada de f´(x) 3. Se iguala la primera derivada a 0 , 4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma.
                       • 5. Se halla la imagen de cada X sustituyendo la variable independiente en la función. 6.En la segunda derivada, se sustituye cada X: 1. Si f´´(x)<0 , se tiene un máximo en el punto M(x,f(x)) . 2. Si f´´(x)>0 , se tiene un mínimo en el punto m(x,f(x)). 3. Si f´´(x) = 0, debemos sustituir x en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero.
       • FUNCIÓN DE 2 VARIABLES: z=f(x,y)=x+xy donde x y y son son variables independientes y z es una variable dependiente
     • Se dice que es una función de n variables reales con valores reales. El dominio de f es D ⊂ R n y su imagen el conjunto {f(x1, x2, . . . , xn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ R n} ⊂ R.

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