limite y continuidad

limite y continuidad

1. DEFINICIONES BÁSICAS

   • El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral)
     • El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
       • Si el límite de una función f en un valor a es igual a b, se escribe de esta manera:
         • lim f( x ) = b (x → a)
       • ¿La función es continua?
         • continua en a
           • lim f(x)=f(a) x→a
         • si lo es en todos y cada uno de los valores de su dominio.
           • SI
         • cuando el valor del límite tiende al valor de la función en el punto.
         • Los puntos en los que una función no es continua se denominan discontinuidades de la función
           • son puntos en los que la gráfica se "rompe".
         • NO

2. A

3. B

   • EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO
     • Newton y Leibniz
       • considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes.
       • Fueron quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos
         • barrow y Fermat
           • unidad algorítmica y precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
           • Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como
             • Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin
               • Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales
               • Lo que estos hombres lograron, fueron resultado de las contribuciones de
                 • Oresme, Arquímedes y Eudoxo
                   • su trabajo estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por
                     • Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.
     • una de las contribuciones previas decisivas fue la
       • Geometría Analítica
         • desarrollada independientemente por
           • Descartes y Fermat.

4. C

   • EXPONENTES
     • Leibniz Gottfried Wilhelm
       • Descubrió el cálculo infinitesimal y su notación, así como el sistema binario fundamental para la arquitectura de computadores. define al limite como: ‘’límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles’’
       • 1646-1716 ( Leipzig, Alemania)
     • Isaac Newton
       • define los limites como "Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales".
       • (1643-1727) Woolsthorpe Manor, Reino Unido
     • Karl Weierstraß
       • (1815-1897) Ennigerloh, Alemania
       • criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" y dio una definición bastante cercana a la de hoy en día: "Si, dado cualquier E, existe un no, tal que para 0<n<no, la diferencia f(xo±n)-L es menor en valor absoluto que E, entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=xo".
     • Leonhard Euler
       • toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método de fluxiones de Newton. Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales.
       • (1707-1783) Basilea, Suiza

5. D

   • CONCEPTOS BÁSICOS
     • FUNCIÓN
       • DOMINIO DE FUNCIÓN
         • RANGO DE FUNCIÓN
           • LIMITE INFINITO
             • LÍMITE MENOS INFINITO
               • Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
             • Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.
           • Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma “y”, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a “x”.
         • Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores de x (variable independiente) forman el conjunto original.
       • Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

6. E

   • REPRESENTACIONES
     • ¡POR MEDIO DE EJEMPLOS, PARA MAYOR COMPRENSIÓN!
       • SIMBÓLICA
         • GRÁFICA
           • NUMÉRICA
             • VERBAL
               • La representación verbal del concepto de límite y continuidad se manifiesta en la comunicación oral de resultados
                 • “El límite de la función f(x) en x=a es L” “La función f(x) tiende a L cuando x tiende a x=a” “La función f(x) tiene una asíntota vertical en x=a” “La recta y= b es una asíntota horizontal de f(x) en ±∞”
             • La representación numérica se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes.
           • De esta manera se representa gráficamente la definición métrica de límite y de continuidad.
         • En el caso (1) consideramos la función f(x) en su notación simbólica. En el caso (2) queremos expresar que el límite de esa función en x=2 es 7.

7. F

   • FENÓMENOS COTIDIANOS
     • Un ejemplo en la adminstración es como se elaboran gráficas para saber el nivel de producción y para encontrar el menor costo posible.
     • Un ingeniero debe tener muy claro el concepto de limite. por ejemplo si vas a construir una obra en la que debes realizar aproximaciones con un margen de error mínimo debes usar limites.
     • En la medicina para determinar cada cuanto tiempo se tomaba un medicamento sin desperdiciarlo
     • Línea real o imaginaria que marca el fin de una superficie o cuerpo o la separación entre dos entidades.

8. G

   • INTERVENCIÓN
     • cambio de movimiento
       • Se pueden tomar intervalos de tiempo específicos y analizar la velocidad y así mismo el cambio en el movimiento pero el tiempo, al ser infinitamente divisible, buscar el momento instantáneo en el cual se da el cambio es intentar encontrar el limite – la derivada.
         • ¡NO ES CONSTANTE – VA CAMBIANDO!
     • velocidad en la naturaleza
       • En evolución y genética de poblaciones, la ecuación de Price se usa para estudiar los cambios de las características heredables en función de su ventaja selectiva.
     • impacto
       • biología
         • muchos aspectos del desarrollo morfológico de los organismos pueden predecirse a partir de modelar señales genético-químicas como ecuaciones diferenciales de reacción-difusión.
       • economia
         • puede ser usado en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria continua a partir de su función de densidad de probabilidad
       • ingenieria
         • el cálculo es indispensable para entender las propiedades de cualquier circuito eléctrico que involucre capacitores o inductores.
       • quimica
         • La química también usa el cálculo para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.

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