MATRIZES

MATRIZES

1. Tabela com elementos dispostos em linhas e colunas

   • (IxJ) -> Ordem Onde I é número de linhas e J o número de colunas  
   • Aij
     • Cada elemento apresenta sua localização representada por I e J indicando sua linha e coluna.

2. Quadrada

   • Tem seu n° de linhas igual ao de colunas

3. Transposta

   • Tem sua linhas e colunas invertidas
   • Propriedades
     • (A+B)t=At.Bt
       • Atenção a letra t indica expoente
     • (At)t=A
       • Letra t indica expoente
     • A=B // At=Bt
       • Letra t é expoente
     • (K.A)t=K.At
       • Ltera t é expoente
     • (A.B)t=Bt.At
       • Letra t é expoente

4. Simétrica

   • É igual a sua matriz transposta

5. Antissimétrica

   • A matriz transposta é igual a oposta

6. Nula

   • Todos os elementos são 0

7. Identidade

   • Elementos da diagonal principal são 1

8. Oposta

   • Todos os elementos da matriz sofrem inversão  de sinal

9. Diagonal principal

   • Linhas e colunas do elementos são iguais                                       A11;A22;A33 ...

10. Diagonal secundária

    • Linhas e colunas dos elementos invertidos                                       A13,A22;A31 ...

11. Operações

    • Igualdade
      • Ocorre quando seus elementos correspondente são iguais
    • Adição e subtração
      • Matrizes de mesma ordem ,operaçõesão feitas entre os elementos correspondentes
    • Multiplicação por um n°
      • Faz distributiva em cada elemento da matriz
    • Multiplicação
      • Ocorre quando o n° de colunas da 1° matriz for igual ao n° de linhas da 2º matriz,se isso ocorrer,a ordem da nova matriz é indicada pela linha da 1º matriz e a coluna da 2º matriz(número).
      • Linha multiplica coluna
        • Os elementos de cada linha multiplica os elementos de cada coluna e depois soma-se tudo
      • Propriedades
        • Comutativa
          • A.B ≠ B.A
        • Anulamento do produto
          • A multiplicação de duas matrizes pode ser nula, independente se as matrizes são nulas ou não
        • Cancelamento
          • Em uma igualdade de matrizes não se pode  "cortar" uma matriz

12. Determinante

    • Um n° associado a uma matriz quadrada,onde seu calculo é feito com a multiplicação dos n° da diagonal p. e dos n° da secundária, e em seguida a subtração da principal com a secundária.(ordem 2)
    • Para ordem maior que 3,repete a 1° e a 2° coluna da matriz para multiplicar os termos e logo após subtrair a D.P -D.S
    • Nulo
      • Fila nula
        • Linha ou coluna formada por todos os elementos iguais a 0
      • Filas paralelas iguais
        • Duas linhas ou colunas paralelas iguais
      • Filas paralelas proporcionais
        • Operações realizadas em uma linha ou coluna é proporcional a outra
      • Fila combinação linear
        • Operações realizadas entre a linha ou coluna 1 juntamente com a 2 resulta na 3
    • Se altera
      • Trocando filas paralelas
        • Sinal do det muda a cada inversão de filas
      • Multiplicação de uma fila por K
        • Obtem-se uma nova matriz e consequentemente um novo det.
      • Multiplicação da matriz por K
        • Multiplicação de todos os elementos da matriz por um n° qualquer,o valor do det se altera
    • Não se altera
      • Troca de linhas por colunas
        • det A= det At onde t é transposta

13. Fila= linha e coluna

14. Abaixamento da ordem

    • Menor complementar: é o det que se obtém anulando uma fila de uma matriz quadrada Cofator:(-1)i+j.menor complementar (onde i+j são expoentes)
    • Teorema de Laplace
      • DET da matriz quadrada de qualquer ordem,é dado pela soma dos produtos(elemento+cofator) de uma fila.
    • Teorema de Binet
      • Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem,então Det(A.B)= det A.det B
    • Regra de Chió
      • Elimina a fila que contém o n° 1(de preferência na posição a11),logo após ache uma nova matriz,a partir da subtração do elemento qualquer com o produto de sua linha e coluna.

15. Inversa (M)-1

    • Só ocorre se A.B=B.A=Identidade  e se o det≠0
    • Obtendo a matriz
      • Em uma 2x2: 1°-troca a posição dos elementos da DP/2°-troca o sinal dos elementos da DS/3°-divide todos os elementos de M pelo det da matriz M.
      • Em uma 3x3...:1°-encontrar det de M/2°-obter a matriz dos cofatores/3°-obter a transposta da matriz dos cofatores/4°-multiplica a transposta pelo inverso do det de M.
    • Obtendo um elemento
      • bij=cofator de aij(elemento da matriz original)/det M
    • Propriedades
      • (A -1)-1
        • Onde -1 é expoente
      • A.B=A-1.B-1
        • Onde -1 é expoente
      • (At)-1=(A-1)t
        • Onde -1 e T são expoentes
      • (A.B)-1=B-1.A-1
        • Onde -1 é expoente
      • det(A-1)=1/det A
        • Onde -1 é expoente

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