Espacio vectorial

Espacio vectorial

1. Base

   • Es un subconjunto de vectores linealmente independientes que pueden crear a partir de ellos cualquier vector en su espacio vectorial es decir forman un sistema generador del espacio.
     • Propiedades
       • Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible)
       • Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible)
       • Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector
     • La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜn
     • Otra base de ℜ3 distinta de la canónica
     • Base de un subespacio
     • Extender un conjunto para que forme base
     • Reducir un conjunto para que forme base.

2. Dimensión

   • Si en todas las bases de un mismo espacio o subespacio poseen el mismo número de vectores, se les llama dimensión.
     • Es el máximo número de vectores independientes que se pueden tener en el espacio o subespacio. Es decir el maximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
       • ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica)
       • Propiedades
         • Significado físico de la dimensión:
         • La dimensión de un subespacio en ℜn
         • Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T
         • El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan