PROGRESSÃO ARITMETICA

PROGRESSÃO ARITMETICA

1. Exemplos de progressão aritmética

   • Considere as seguintes sequências: (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1. (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3. (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 – 3 = 0. (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 – 10 = -5.

2. Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r. Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

3. Tipos de progressões aritméticas (P.A.)

   • Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0. Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2. Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0. Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2. Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0. Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.

4. Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)

   • Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma: Seja a P.A. com razão r a seguir: (a1, a2, a3, …, an-1, an, …) A partir da P.A. acima, sabemos que: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r a5 = a4 + r
     • Com isso chegaremos a seguinte fórmula, após simplificarmos os termos: an = a1 + (n – 1)r Onde: an: é o termo geral; a1: é o primeiro termo da P.A.; n: é o número de termos ou o total de termos; r: é a razão. A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.

5. Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

   • Sn=(a1+an)*n/2
     • Exemplo: Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …) Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20: an = a1 + (n – 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 – 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77

6. Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)

   • Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2

7. Formúla do termo geral

   • Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...) Solução Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos: an = a1 + (n - 1) . r a10 = 26 + (10-1) . 5 a10 = 26 + 9 .5 a10 = 71 Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71

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