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1. Determinante de matriz de ordem 1 O determinante de uma matriz A que possui só um elemento, isto é, A é uma matriz unitária é dado pelo próprio elemento. Se A = [a11] então detA = a11

2. Determinante de matriz de ordem 2 O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação dos elementos da diagonal principal e subtraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

3. Determinante de matriz de ordem 3 Passo 1 – Repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz. Passo 2 – Multiplicar os elementos da diagonal principal e de suas paralelas que contêm três elementos. Passo 3 – Multiplicar todos os elementos da diagonal secundária e de suas paralelas que contêm três elementos. Passo 4 – Somar todos os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal principal e subtrair os resultados obtidos pelas multiplicações do sentido da diagonal secundária.

4. Teorema de Laplace

   • O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores

5. Regra de Chió

   • A regra de Chió nos ajuda a construir uma matriz com determinante igual a uma matriz dada, entretanto com a ordem menor. Em uma linguagem matemática, a regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma ordem abaixo).
   • Existe uma condição importante para a aplicação do processo da regra de Chió, sendo que o primeiro elemento da matriz, o elemento a11 deve ser igual a 1. Tendo isso, é possível aplicar o processo da regra de Chió de modo a obter uma matriz com ordem menor.
   • Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
   • Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.
   • Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

6. Teorema de Binet

   • “Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, dessa forma, temos que det(AB)=(det A).(det B).” Ou seja, ao invés de encontrar a matriz-produto e depois calcular seu determinante, é possível calcular o determinante de cada matriz e multiplicá-los.

7. Propriedades dos determinantes

   • 1ª propriedade Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
   • 2ª propriedade Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.
   • 3ª propriedade Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
   • 4ª propriedade Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K
   • 5ª propriedade Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn. det (k*A) = kn * det A
   • 9ª propriedade Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.
   • 6ª propriedade O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt). det R = ps -- qr det Rt = ps – rq
   • 10ª propriedade Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.
   • 7ª propriedade Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
   • 8ª propriedade O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

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