Estrutura Algébrica

Estrutura Algébrica

1. Grupo

   • Um grupo é uma estrutura (G,*), formada por um conjunto não vazio G sobre o qual foi definido uma aplicação binária *, satisfazendo às propriedades:
     • 1- Associatividade: Quaisquer elementos a,b,c pertencentes a G, (a*b)*c = a*(b*c)
     • 2- Existência do elemento neutro: Existe um elemento e em G tal que e*a = a*e=a, para todo a pertencente a G
     • 3- Existência do elemento simétrico: Para qualquer elemento a em G, existe outro elemento a' em G, tal que, a*a' = a'*a = e, onde e é o elemento neutro previamente mencionado.
   • Grupo Comutativo
     • Se G é um grupo com a operação * e satisfazer para todo x,y ∈ G a comutatividade: x*y = y*x, dizemos que (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo
     • Anel
       • Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias + e . (A, +, .) , normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições:
         • (A,+) é um Grupo Abeliano (associatividade, elemento neutro, simetrizável e comutativo
         • (A, . ) é um semigrupo, isto é, a multiplicação tem que ser associativa (x ⊗y)⊗z = x ⊗(y ⊗z)
         • Vale a distributividade à direita e à esquerda, isto é, (b+c).a = b.a + c.a a.(b+c) = a.b +a.c
       • Domínio de Integridade
         • Um anel (A, +, .) é domínio de integridade se existe um anel comutativo com identidade sem divisores de zero
           • Existe Anel com identidade e Anel comutativo
             • Anel Identidade: Se o semigrupo (A,.), existe um elemento 1 ∈ A (1≠0 ∧∀ a ∈A (1.a = a.1= a)). 1 elemento neutro para essa operação
             • Anel Comutativo: Se o semigrupo (A, .), ∀ x,y ∈ A (x.y=y.x)
           • Anel comutativo com identidade no qual, ∀ x,y ∈A (x.y=0→(x=0 ∨ y=0))
       • Corpo
         • Um Anel (K, +, .) é chamado de corpo se os elementos não nulos formam um grupo comutativo com a operação "." multiplicação (a.b = b.a)
         • Quando um anel for corpo:
           • (k,+) grupo comutativo (a+b = b+a)
           • (k, .) tb deve vai ser grupo comutativo (a.b = b.a)
           • distributividade pelos dois lados, pela esquerda e pela direita (b+c).a = b.a + c.a a.(b+c) = a.b +a.c