Transformação linear parte 2

Transformação linear parte 2

1. Existência e unicidade da transformação linear

   • Sejam U e V espaços vetoriais reais. Sejam u1, u2,...,un, uma base de U, v1,v2,...,vn uma base de V. Então existe uma única transformação linear T: U-> V, tal que
     • T(u1) = v1, T (u2) - V2,..., T (un) = Vn

2. Imagem da transformação linear

   • Seja T: U -> V uma transformação linear. A imagem de T, denotada por Im (T) é o conjunto dos vetores v E V tais que existe um vetor u E V que satisfaz T (u) = v, isto é:
     • Im (T) = { v E V/ T (u) = v, u E V}
   • Observações
     • Im (T) C V
     • Im (T) é um subespaço vetorial do espaço vetorial V
     • Se Im (T) = U, então T é dita sobrejetora
   • Teoremas
     • Se T: U -> V é uma transformação linear e S é um subespaço vetorial de V, então T ^-1 (S) é um subespaço vetorial de U
     • Se T: U-> V é uma transformação linear e o conjunto { u1,u2,...,un} gera U, então o conjunto {T (u1, T (u2),..., T(un)} gera Im (T)

3. Núcleo

   • Seja T: U-> V uma transformação linear. O núcleo de T, denotada por Ker (T) ou N (T), é o conjunto dos vetores u E U tais que satisfaz T (u) = 0, isto é, o conjunto de todos os vetores que são levados no vetor nulo de V
     • Ker (T) = { u E U/ T (u) = 0 E V}
     • Observações:
       • Ker (T) C U
       • Ker (T) é um subespaços vetorial do espaço vetorial U
       • Uma transformação linear é dita injetora se dados u,v E U, com T (u) = T (v), então u=v. Temos que se Ker (T) = 0, então T é injetora
       • Se a transformação linear T for injetora e sobrejetora então T é dita bijetora
     • Teorema (Núcleo e imagem)
       • Seja T: U -> V uma transformação linear, com U e V sendo espaços vetoriais de dimensão finita, então:
         • Dim U = Dim Kert (T) + Dim Im (T)

4. Teorema Matriz de uma transformação linear

   • Seja A E Mmxn
     • i: A matriz A define uma transformação linear T: R^n -> R^m por T (x) = Ax
     • ii: Seja T: U-> V uma transformação linear, onde U e V são espaços vetoriais de dimensão finita. Então, T pode ser representada por uma matriz A em relação a bases fixas, B e B', de U e V
   • Observações
     • 1- A matriz A é denominada matriz de T em relação as bases B e B'
     • 2- A coluna j da matriz A possui as coordenadas aij, 1 <= i <= m de T (uj), onde uj é o j-ésimo elemento da base U
     • 3- É fácil verificar que a matriz A depende das bases B e B' de U e V, respectivamente. Assim, fixadas as bases, a matriz A é única
   • Demais observações
     • 1- Dada uma transformação linear T, a cada conjunto de bases B e B", corresponde uma matriz A
     • 2- Mesmo que as bases dadas não sejam as bases canônicas, podemos determinar a transformação linear T: U->V, se tivermos a matriz A e duas bases B e B' de U e V
     • 3- Quando as bases envolvidas forem as bases canônicas, T1 e T2 forem transformações lineares do R^n -> R^m e A1 e A2 forem suas matrizes canônicas
       • a) (T1 +T2) = A1 + A2
       • b) α T1 = α A1 e α T2 = α A2 / α E R
       • c) Se T3: R^m-> R ^p é uma transformação linear e A3 é sua matriz canônica
         • Ti ° T3 = Ai A3, i = 12