NUMEROS COMPLEJOS

NUMEROS COMPLEJOS

1. 6.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.

   • 6.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
     • 6.2 Operaciones fundamentales con números complejos:
       • 6.1 Definición y origen de los números complejos.
         • Definicion
           • “El sistema de números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias, adición +, y multiplicación *, definidas como: (x, y) + (u,v) = (x +u, y+v ) (x, y) · (u, v) = (xu – yv, xv + yu) Dos números complejos (x,y) y (u,v) son iguales, si y solo si, x= u y y= v”[1]. “Un número complejos es una expresión de la forma: z= x + iy donde x y y son números reales, x se denomina la parte real de z, y la parte imaginaria, e i =-1, el cual tiene la propiedad que i2 = -1. ”[2].
             • Representación geométrica de los números complejos:
         • Origen:
           • “La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.
       • “Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.
         • Suma y resta :
           • Conjugado:
             • División de números complejos:
               • En la división se hace uso del conjugado del denominador.
           • La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.
             • Ejemplos: (7 - 2i) + (3 - 3i) = 10 - 5i (3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i 2i + (-4 – 2i) = -4 (-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i (5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i
               • Multiplicación con números complejos:
                 • En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i2, donde i2 = -1.
     • "El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i2 = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:
       • Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada
         • Módulo de un número complejo
           • Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es
   • Forma polar:
     • “Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como x = r cos θ e y = r sen θ
   • Forma exponencial:
     • La ecuación eiθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar. z = r(cos θ + i sen θ), la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

2. 6.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

   • “Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rn(cosnθ + isennθ)
     • “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial " n-ésima " . 1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ... En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".
       • Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... ... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.
         • Ejemplo
   • 1.6 Ecuaciones polinómicas
     • “Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo.
       • Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma: IMAGEN 1.2 Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por: IMAGEN 1.3 Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i. La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y un
     • 6.7 Aplicaciones
       • Aplicaciones geométricas
         • Traslaciones
         • Giros
         • homotecias
         • Resolucion de ecuaciones diferenciales

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