Cálculo

Cálculo

1. Limites

   • A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente. Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.
   • Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: {\displaystyle f(x)=2x+1} nos reais, calcular o limite da função {\displaystyle f} quando {\displaystyle x\to 1.} Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos: Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja: Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função {\displaystyle f(x)} descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.
   • Propriedades
     • Operação
       • 7. lim c = c x→a
       • 8. lim x = a x→ a
       • 9. lim x^n = a^n x→a
       • Funções
         • 1. Soma
         • 2. Diferença
         • 3. Produto p/ Constante
         • 4. Produto
         • 5. Quociente
         • 6. Potencia
         • 11. Raiz
       • 10. lim n^√x = n√â x→a
     • Teorema do Confronto
       • f<g<h lim f < lim g < lim h
   • Conceitos
     • Limite à Direita (+)
       • Limite quando x tende à p com valores maiores que p.
     • Limite à Esquerda (-)
       • Limite quando x tende à p com valores menores que p.
     • Limite Central
       • Só existe se x pertencer ao domínio e y for da imagem e se o limite pela esquerda e o limite pela direita tenderem ao mesmo valor.
       •  Alternativamente x pode aproximar-se de p por cima (direita) ou por baixo (esquerda), caso no qual os limites podem ser escrito como. Se ambos estes limites forem iguais a L então isto pode ser tratado como o limite de f(x) em p. Por outro lado, se não forem ambos iguais a L então o limite, como tal, não existe.
     • Infinito
   • Classificação
     • Descontinuidade
       • Pressupõe-se que, no caso em que uma função f seja contínua em x = c, o gráfico de f seja ininterrupto em x = c. A interrupção gráfica pode ser assimilada à presença de indefinições de imagem, saltos ou lacunas. Para ser continua o limite x -> a f(x) = f(a) O limite central precisa existir para haver continuidade na função. Um definição mais simples (não tão precisa) é:Uma função é descontinua se você precisa retirar o lápis do papel para desenhar o gráfico da função, se e somente se, a estiver definido no domínio da função.
       • Tipos
         • Salto
           • Ocorre quando há saltos entre o limites da direta com os limites da esquerda.
         • Infinita
           • Quando os limites tendem ao infinito.
         • Removível
           • Quando o limites laterais tendem ao mesmo valor mas o valor real de x é outro. Portanto, é uma descontinuidade remotvível.
       • Teoremas
         • 1. Operação c/ Funções
           • Se f e g forem funções contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções também são contínuasem a: 1. f + g 2. f - g 3. c . f 4. f . g 5. f/g se g(a) ≠ 0
         • 2. Funções Continuas no Domínio
           • 1.Qualquer polinômio é contínuo em todos os reais. 2. Qualquer função racional é contínua em seu domínio.
         • 3. Domínio
     • Assíntotas
       • Limites no Infinito
       • H o r i z o n t a i s
       • V e r t i c a i s

2. Deriferencial

   • da a inclinação da reta tangente, não o f(x) f'(x) > 0 a funçao sera crescente f'(x) < 0  então a função é decrescente
   • Quando o gráfico da f' cruza a raiz ele representa uma mudança de sentido na f
   • Propriedades
   • Conceitos
   • Reta Tangente
     • Derivada > 0 (angulo da reta tangente) a função é crescente derivada < 0 f(x) é decrescente
   • Taxas Relacionais
     • Em um problema de taxas relacionadas, a ideia central é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra, possivelmente mais fácil de ser avaliada.
     • Procedimento: Determine a equação que relaciona as duas grandezas então aplique a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo.

3. Integral

4. Pré-Conceitos

   • Funções
     • Propriedades
       • Composição
       • Inversão
       • Transformações
         • Translação
           • Cima
           • Baixo
           • Direita
           • Esquerda
         • Tamanho
           • E x p a n s ã o
           • Contração
     • Conceitos
       • Domínio
       • Contradomínio
       • Imagem
     • Classificação
       • Sentido
         • Crescente
         • Decrescente
       • Simetria
         • Ímpar
         • Par
       • Imagem
         • Injetora
         • Bijetora
         • Sobrejetora
     • Tipos
       • Polinomial
         • Linear
         • Afim (1º Grau)
         • Quadrática (2º Grau)
       • Modular
       • Trigonométrica
         • Normais
           • Seno
           • Cosseno
           • Tangente
         • Inversas
           • Cossecante
           • Secante
           • Cotangente
         • Arco
       • Raiz
       • Exponencial
       • Logarítmica
   • Álgebra
   • Trigonometria