Interpolação

Interpolação

1. Polinomial

   • Teorema 1
     • Montar sistema linear
     • Obter pn(x)
       • Resolução do Sistema Linear
         • *Simplicidade teórica; *Computacionalmente cara; *Numericamente Instável.
         • Encontrar o polinômio de Grau 2 ou Grau 3
           • Montar tabela
             • Resolver sistema linear, VCN ou Scilab
       • Forma de Lagrange
         • *Boa teoricamente; *Método Computacional caro.
         • O polinômio interpolador pn(x) ca determinado pela resolução do sistema linear obtido da condição pn(xk) = f(xk), com k = 0, 1, 2, · · · , n.
         • Forma direta
           • pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + · · · + ynLn(x)
             • Sendo, x0, x1, · · · , xn, (n + 1) pontos distintos e yi = f(xi), com i = 0, 1, · · · , n
       • Forma de Newton
         • *Forma Computacional mais barata.
         • pn(x) = d0 + d1(x − x0) + d2(x − x0)(x − x1) + · · · + dn(x − x0)(x − x1)· · ·(x − xn−1)
           • Os coecientes dk, com k = 0, 1, · · · , n, são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj , f(xj )), com j = 0, 1, · · · , k.
     • Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: pn(xk) = f(xk), com k = 0, 1, 2, · · · , n, desde que xk 6= xj , j 6= k.
       • Existe um único Interpolação linear: interpolação por 2 pontos distintos;
       • Interpolação quadrática: interpolação por 3 pontos distintos;
       • Interpolação cúbica: interpolação por 4 pontos distintos;
       • Interpolação de ordem n − 1: interpolação por n pontos distintos.
   • Estudo do erro na interpolação
     • O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x).
     • Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau menor ou igual a n, comete-se o erro En(x) = f(x) − pn(x) para todo x no intervalo [x0, x1]. O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x).

2. Aproximar Funções

   • Exemplo - Intervalo do censo