TRANSFORMAÇÕES LINEARES

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1. uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.

   • ESPAÇOS VETORIAIS
     • Em uma transformação linear num espaço vetorial V, podem existir vetores que preservam sua direção após a transformação. esses vetores recebem nome especial de autovalores e autovetores.
       • Seja uma transformação linear em um espaço vetorial V. Um vetor não nulo é chamado de autovetor (ou vetor próprio) do operador T, se existe , chamado de autovalor (ou valor próprio) tal que T : V → V v ∈ V λ ∈ ℝ T(v) = λv .
         • Os autovalores, quando existem, são determinados primeiramente através da raiz da equação caracteristica.
         • Os autovetores são então determinados pela equação Av = λv.
         • Chama-se multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz da equação característica.
         • Chama-se multiplicidade geométrica de um autovalor a dimensão do subespaço A At Vλ = {v ∈ V |T(v) = λv} .
   • T(u + v) = T(u) + T(v), para todo u, v ∈ V. T(αu) = αT(u), para todo α ∈ ℝ e u ∈ V .
     • se T : ℝ → ℝ x ↦ 3x então é uma transformação linear, se T : ℝ → ℝ x ↦ 3x + 1 então não é uma transformação linear.
     • TEOREMA: Sejam V e W dois espaços vetoriais e uma transformação linear. Então . T : V → W T(0) = 0
     • NUCLEO E IMAGEM: Sejam V e W dois espaços vetoriais e uma transformação linear. Então, T : V → W dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(V) . desse modo, se uma transformação linear for T : V → W , tal que dim(V) = dim(W), então ela será injetora.