Zero de Funções ou Raízes de Funções

Zero de Funções ou Raízes de Funções

1. Isolamento de raízes

   • Teorema do anulamento ou Teorema de Bolzano
   • Corolário do teorema
   • Tabelamento
   • Gráfico

2. Método da Bissecção

   • Teorema do Valor Intermediário
   • Separar o intervalo [a,b] em [a,n] e [n,b] usando média aritmética
     • n=(a+b)/2
   • O intervalo de busca será o subintervalo em que os valores de f possuem sinais opostos nos extremos
   • Critério de parada
     • I- f(Xk) < ∈ ; II- |X(k)-X(k-1) < ∈ ; III- Número de interações

3. Método da Falsa Posição

   • Separar o intervalo [a,b] em [a,n] e [n,b] usando média ponderada
     • n=[a*f(b)-b*f(a)]/f(b)-f(a)
   • Critério de parada
     • [n-a]/n < ∈ ou [n-b]/n < ∈
   • Intervalo de busca é o subintervalo em que f tem sinais opostos nos extremos

4. Método do Ponto Fixo

   • Teorema do Ponto Fixo
     • Um ponto ζ ∈ R é chamado de ponto fixo de uma função Φ se Φ(ζ)=ζ
   • Condições
     • φ(x) e φ'(x) são contínuas em I
     • |φ'(x)|≤M<1
     • X(0) ∈ I
   • Função de iteração φ(x), onde x(k+1)=φ(xk)
   • Critério de parada
     • |X(k)-X(k-1)| = |φ(Xk-1) - X(k-1)|< ∈

5. Método de Newton-Raphson

   • Função de iteração φ(x), onde φ'(x)=0
     • φ(x)=x-[f(x)/f'(x)]
   • Aprimoramento do Método do Ponto Fixo
   • Critério de parada
     • φ(xk) < ∈
   • Condições
     • f(x), f'(x) e f''(x) são contínuas em I
     • f(x) ≠ 0
     • X0 está suficientemente próximo da raiz

6. Método da Secante

   • Modificação no Método Newton-Raphson
     • Elimina a necessidade de calcular a derivada
     • Convergência mais lenta
   • f'(x)≅[f(x)-f(xk-1)]/x(k)-x(k-1)
     • X(k+1)=X(k)-[f(Xk)*(Xk-Xk-1)]/f(Xk)-f(Xk-1)
   • Critério de parada
     • f(Xk) < ∈

7. Refinamento

   • Início
     • Aproximação Inicial
       • Critério de parada
         • Atualiza aproximação
           • Retornar
         • Não
         • Sim
         • Exibe resultado
           • Fim