Método de Newton-Raphson

Método de Newton-Raphson

1. O método de Newton-Raphson é um método de ponto fixo que utiliza uma técnica diferente para o refinamento. O que esse método faz é escolher uma função de iteração g(x) tal que g'(p)=0

   • O método de Newton-Raphson busca garantir e acelerar a convergência do método do ponto fixo, escolhendo para função de iteração g(x) tal que g'(ξ) =0, e e o cálculo é feito da seguinte maneira:
     • E a sequência de iterações se dá por:
       • O teorema diz: "No intervalo [a,b], deve conter a raiz x = ξ de f(x)=0. Se a derivada dessa função f'(ξ) ≠0. Então, a raiz ξ estará dentro do intervalo, que vai convergir ao valor real por meio de iterações de sequências {xk} gerada pela fórmula"
         • Geralmente o método de Newton converge, desde que o palpite inicial x0 escolhido seja suficientemente próximo da raiz ξ, satisfazendo as hipóteses de convergência do MPF.

2. O método de Newton também pode ser obtido geometricamente. Dado o ponto (xk, f(xk)), é traçada a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto. A equação da reta tangente é:

   • Essa reta Lk(x) funciona como uma aproximação para a função f(x) na vizinhança de xk. Ou seja, quanto mais próximo de xk estiver, melhor a reta tangente aproxima a própria função.
     • Como o chute xk deve estar próximo da raiz de f(x), considera-se a aproximação Lk(x) como uma aproximação boa o suficiente para encontrar o zero de f(x) e então pode ser feito:
       • Basta fazer xk+1=x, e chegamos à "formula" de novo, e obtemos o seguinte:
         • Então, aplica-se os critérios de convergência e iteração até que o valor de x atenda ao critério de parada.
           • Os critérios de parada, são:

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