Zeros de Funções

Zeros de Funções

1. Definição: Um zero (ou raiz) de uma equação f(x) é um número real Ꜫ tal que f(Ꜫ) = 0

2. Métodos Numéricos

   • 1ª Fase: Isolamento de Raízes - Análise Teórica da função, garante que só existe uma raiz no intervalo de busca
     • Teorema: Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b]. Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um ponto C, onde C ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.
     • Colorado: Se f' preservar o sinal em [a, b], então existe um único c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.
   • 2ª fase: Refinamento de Raízes - Métodos numéricos de uma forma geral
     • Início
       • Aproximação inicial: definindo no intervalo que tem a raiz.
         • Critério Parada - se já é suficiente próxima ao desejado.
           • Caso Não - Atualiza aproximação
             • Método da Bissecção
               • Seja f(x) contínua em um intervalo [a, b] tal que f(a).f(b)<0.
               • O objetivo desse método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir (b-a) < Ɛ
             • Método da Falsa Posição
               • Seja f(x) contínua em um intervalo [a, b] tal que f(a).f(b)<0.
               • Supor que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x)= 0 Podemos esperar conseguir a raiz aproximada x usando as informações sobre os valores de f(x) disponíveis a cada iteração.
             • Método do Ponto Fixo
               • Seja f(x) contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x)=0
               • Esse método transforma esta equação em uma equação equivalente × = ?(?), e a partir de uma aproximação inicial ?o gerar a sequencia (??) de aproximações
               • Condições de convergência:
                 • i) ?(x) e ?'(x) são contínuas em I
                 • ii) |?'(x)| ≤ M < 1 ∀ ? ∈ ?
                 • iii) Xo ∈ I
             • Método de Newton-Raphson
               • É um método que melhora o Método o Ponto Fixo, acelerando a convergência
               • Hipótese inicial: ?'(x) = 0
                 • ?’(x) = 1+A(x)f’(x) = 0
               • Condições de Convergência - MNR
                 • i) f(x), f'(x) e f''(x) são contínuas em I
                 • ii) f' (x) ≠ 0
                 • iii) Xo está suficientemente próximo da raiz.
             • Método da Secante
               • Modificação do método de Newton-Raphson
                 • Vantagem: Elimina a necessidade de calcular a derivada
                 • Desvantagem: Geralmente possui uma convergência mais lenta
               • Portanto, para este método, substitui a derivada f’(Xk) pelo quociente das diferenças
           • Critério de Parada: i) f(Xk) < Ꜫ; ii) | Xk - Xk-1| < Ꜫ; iii) Nº Limite de iterações
           • Caso sim: Exibe Resultado
             • Fim

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