ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

1. DEFINICIÓN

   • un espacio vectorial es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar, y que satisfacen los diez axiomas
   • PROPIEDADES
   • COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
     • Combinación lineal de vectores, y se obtiene de la suma de dos o más vectores multiplicados por algunas escalares Es decir
   • ESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES
   • INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
   • BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
     • En la base de un espacio vectorial se puede puntualizar que una base debe ser tal que contenga los suficientes vectores para generar a V, pero no en exceso de modo que permita a uno de ellos ser combinación lineal de los demás. Por otro lado, todo espacio vectorial tiene al menos una base Sea el conjunto finito S conformado por los vectores {v1, v2,.., vk}, contenidos en el espacio vectorial V. Entonces se dice que S es Una Base del espacio vectorial V, si se cumple: 1. S genera a V 2. S es linealmente independiente.
   • DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
     • Dimensión de un espacio vectorial, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, entonces cualquier otra base tendrá el mismo número de vectores; es decir, n. Dicho de otra manera, un espacio vectorial tiene muchas bases, pero se ha demostrado que éstas tiene el mismo número de vectores Sea un espacio vectorial V no nulo, el cual tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V será n, denotándolo como dim (V) = n.
   • RANGO
     • La dimensión del espacio generado por las filas de una matriz A se le denomina Rango por Fila de A. La dimensión del espacio generado por las columnas de la matriz A se le denomina Rango por Columna Para una matriz A de tamaño mxn, esta demostrado que ran(A) ≤ min{m, n} Para determinar el rango de una matriz, solo debemos llevarla a la forma escalonada y observar las filas diferentes de cero (no nulas) que se obtengan, el número de filas diferentes de cero será el rango de la matriz.
   • NULIDAD
     • La nulidad v(A) de una matriz esta relacionada con la dimensión del espacio nulo NA de dicha matriz; es decir, la dimensión del espacio solución del sistema Ax =0. Si A es transformada por medio de operaciones elementales por fila a una matriz escalonada reducida por fila digamos H con t filas no nulas, entonces la dimensión del espacio solución de Ax = 0 es n – t. como t es rango de A, entonces hay una relación entre el rango y la nulidad de la matriz A.
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   • ESOACIO RENGLÓN Y ESPACIO COLUMNA DE UAN MATRIZ
     • El espacio renglón y columna de una matriz se define, Para una matriz A de tamaño mxn, las filas de A se pueden ver como un conjunto de m vectores, de igual manera para las columnas El Espacio Columna de A, esta dado por el subespacio Rm generado por los vectores columna de A. Los concepto espacio renglón y espacio columna son fundamentales para el análisis del rango de una matriz.

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