La hipérbole

La hipérbole

1. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano, la diferencia de cuyas distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.

   • Para hallar una ecuación sencilla para una hipérbola, seleccionamos un sistema de coordenadas con focos en F(c, 0) y F’(-c,0) y denotamos la distancia (constante) con 2a. El punto medio del segmento F’F (el origen) se denomina centro de la hipérbola.

2. Teorema 1

   • La ecuación de la hipérbola del centro en el origen , eje focal coincidente con el eje X ,y foco los puntos (c, 0) y (- c, 0),es x2/a2 - y2/b2= 1
     • O si el eje focal coincide con el eje Y de manera que las coordenadas sean (0,c) y (0,-c) entonces la ecuación es y2/a2 - x2/b2=1
   • Para cada hipérbola, a es la longitud del semejante transverso , b la del semejante conjugado, c la distancia del centro a cada loco , y a , b , c están ligadas por la relación c2= a2+b2 También, para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2b2/a y la excentricidad e está dada por la relación e= c/a = raíz de a2+b2/a > 1.
     • La posición de la hipérbola se determina por los signos de los coeficientes de las variables en la forma canónica de su ecuación. La variable de coeficiente positivo corresponde al eje coordenado que contiene al eje transverso de la hipérbola.

3. Teorema 2

   • La hipérbole b2 x2- a2 y2= a2 b2 tiene por asíntotas las rectas bx-ay=0 y bx+ay=0
   • Si la ecuación de una hipérbola está en su forma canónica, las ecuaciones de sus asintotas pueden obtenerse remplazando el término constante por cero y factorizando el primer miembro.
     • La gráfica de una hipérbola puede esbozarse muy fácilmente trazando sus vértices y sus asintotas.

4. Ejemplo

   • Los virtices de una hipirbola son los puntos V (0. 3) y V1(O,-3). y sus focos los puntos F(0, 5) y F1(O, -5). Hallar la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.
     • Solución. Como los vértices y los focos están sobre el eje Y, el eje focal coincide con el eje Y. Además, el punto medio del eje transverso esta, evidentemente, en el origen. Por tanto, por el teorema 1, la ecuacion de la hipérbola es de la forma y2/a2 - x2/b2=1 La distancia entre los vértices es 2a=6, longitud.del eje transverso. La distancia entre los foco es 2c=10. Por tanto, a=3 y c=5 donde b2= C2- a2 = 25 -9 = 16, Por lo tanto. b = 4. y la longitud del eje conjugado es 2b= 8. La ecuacion de la hipérbola es entonces y2/9 - x2/16=1 La expresión es e= c/c=5/3 y la longitud de cada lado recto es 2b2/a=2.16/3=32/3