Progressão Aritmética(PA)

Progressão Aritmética(PA)

1. Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão.

   • É muito comum trabalharmos com sequências numéricas, ainda que consigamos prever os próximos termos, nem sempre a sequência pode ser classificada como uma progressão aritmética. Para isso, é necessário que exista uma razão e que, com base no primeiro termo, os termos posteriores sejam construídos a partir do termo anterior mais a razão.

2. Classificações

   • Crescente: r>0
     • Ex: (-9, -3, 3, 9, 15, 21) r = 21-15 = 6
     • Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.
   • Decrescente: r<0
     • Ex: (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2) r = 8 – 10 = -2
     • Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente.
   • r=0
     • Ex: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) r = 1 – 1 = 0
     • Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.

3. Termos de uma PA

   • Para encontrar os termos de uma progressão aritmética, utilizamos a fórmula:
     • an = a1+ r (n – 1) n: número do termo r: razão
   • Demonstração:
     • Exemplo:

4. Termo geral de uma PA

   • Conhecidos o primeiro termo e a razão de uma progressão, a fórmula para encontrar termos quaisquer de uma sequência pode ser simplificada, gerando o que conhecemos como termo geral de uma PA, que é uma fórmula que depende só de n para encontrar os termos da progressão.
   • Exemplo:
     • • Esse é o termo geral de uma PA, que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.

5. Soma dos termos de uma PA

   • Outra fórmula importante é a soma dos n termos consecutivos da sequência. Com ela é possível calcular a soma dos n termos de uma PA conhecendo apenas o primeiro e o n-ésimo. Representada por Sn, é dada por:
     • • Exemplo:
         • Encontre a soma de todos os números pares de 2 até 100.
           • Resolução:

6. Propriedades de uma PA

   • 1ª propriedade
     • Dada uma progressão aritmética qualquer, e um termo ak, a média aritmética entre o seu sucessor e o seu antecessor é igual ao próprio termo ak.
       • Ex: (-1, 1, 3, 5, 7, 9,11)
         • Seja ak = 5, seu sucessor é 7 e seu antecessor é 3.
           • • Essa propriedade é válida para qualquer termo da PA.
               • De forma geral, seja ak um termo qualquer das sequências, a média dos termos que então se encontram na posição k – n e k + n é sempre igual ao termo ak.
   • 2ª propriedade
     • A soma dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos.
       • Muito parecida com a primeira propriedade, nesta olhamos a progressão aritmética formando pares entre o primeiro e o último termo, entre o segundo e o penúltimo termo, e assim sucessivamente. A soma desses pares é sempre a mesma.
         • Exemplo 1:
         • Exemplo 2:

7. Notação:

   • Usamos como notação dos termos de uma sequência a letra an, em que n é o índice do elemento que indica a posição dele na sequência, por exemplo: a4 é o quarto termo de uma progressão. Assim, uma progressão de n termos é descrita por:

8. Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.

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