Tarea 4 Espacios Vectoriales Willian Ivan David

Tarea 4 Espacios Vectoriales Willian Ivan David

1. CONCEPTO ESPACIO VECTORIAL

   • Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.
   • Propiedades
   • Propiedades
     • Propiedad conmutativa
     • Propiedad asociativa
     • Tiene elemento neutro igual a 0
     • Elemento opuesto
     • Tenga la propiedad asociativa
     • 1 E R sea elemento neutro en el producto
     • Distributiva por la izquierda
     • Distributiva por la derecha

2. INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

   • Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Es decir,

3. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL

   • Base
     • Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
   • Dimensión
     • Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. • Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. conjunto de vectores de dicho espacio

4. COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO

   • Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.
   • El espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos

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